1942年(昭和17年)東京帝國大學(秋入学)工學部-數學[1]

2019.02.25記

一平面上に $n$ 箇の圓があり，いづれの二圓も必ず二點に於いて交はつてゐる．これらの圓は平面を何箇の部分に分つか，但し3箇以上の圓が同一點に交はることはないとする．

2020.03.03記
(以前、理學部數學[1]と書いていたが、工學部數學[1]の間違いでした)

解説:1942年は4月入学の入試の後、戦時中ということもあって、10月入学の入試が行なわれた。その際、医学部以外は1945年9月卒業、医学部は1946年卒業という短縮年限となった。

問題自体は普通。

[解答]
求める個数を $a_n$ とおくと、 $a_1=2,a_{n+1}=a_n+2n$ から $a_n=n^2-n+2$

オイラー多面体定理を用いた別解として、

[うまい解答]
点はどの2円の交点も2つだから $V=2{}_nC_2=n(n-1)$ 個、
線はどの円も $2(n-1)$ 個の線に分けられるので、 $E=2n(n-1)$
であるから、オイラー多面体定理より $F=E-V+2=n(n-1)+2$ (縁の領域も数えて)

[別館]球面倶楽部零八式markIISR