[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

二本の直交する直線に接する半長短軸が夫々 $a,\,b$ なる一定形の楕円の中心の軌跡を求む。

本問のテーマ

楕円の準円

[大人の解答]
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ( $a\gt b$ ) の直交する接線の交点の軌跡が準円 $x^2+y^2=a^2+b^2$ であるから，楕円の中心と直交する接線の交点の距離は常に $\sqrt{a^2+b^2}$ となる．

よって，二本の直交する直線を $x,y$ 軸とし，楕円が第1象限にあるとすると，求める軌跡は
$x^2+y^2=a^2+b^2$ ( $b\leqq x\leqq a$ )
となる．