1950年(昭和25年)東京大学(新制)-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

4科目の中から1科目選択、150分、100点

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[1] 次の f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 の中に適當な數を入れよ．

點 $(10,\,2)$ ， $(2,\,-2)$ を通る直線がある．

(1) この直線の方程式は $y=$ f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 $x+$ である．

(2) この直線の勾配は f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 である．

(3) この直線が $x$ 軸と交わる點の座標は f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 である．

(4) この直線が $y$ 軸と交わる點の座標は f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 である．

(5)この直線と $x$ 軸に關して對稱な直線の方程式は $y=$ f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 $x+$ である．

[2] 次の事柄は正しいか，正しいときには番號の前の□の中に○印をつけよ．正しくないときには番號の前の□の中に×印をつけて，正しくないことを示す例をあげて簡單に説明せよ．

□ (1) 水平な直線に垂直な直線は鉛直である．

□ (2) 鉛直な直線に垂直な直線は水平である．

□ (3) 二つの四角形の對應する四つの角が等しければ，この二つの四角形は相似である．

□ (4) 一つの圓で中心角の大きさと，これに對する弦の長さは比例する．

□ (5) $\sin A$ と $\cos A$ とは反比例する．但し $A$ は鋭角とする．

解析I

[3] 次の圖に示したのは $x=\pm 1$ ， $y=\pm 1$ で圍まれた正方形である． $x-y$ はこの正方形の中で左圖の $+$ としるした部分で正の値をとり， $-$ としるした部分で負の値をとる．

$x-y$ のかわりに次の諸式を考えると，この正方形のどの部分で正，あるいは負となるか．上の例にならつて圖に記入せよ（圖は省略）．

(1) $x+y$

(2) $x^2-y^2$

(3) $(x+y)^2-1$

(4) $|x|-|y|$

(5) $|x-y|-1$

[4] (1) $x$ の函數 $2x^2+3mx+2m$ の最小値 $y$ は $m$ のどんな函數になるか．

(2) この $m$ の函數 $y$ は， $m$ のどんな値に對して最大となるか．またその最大値を求めよ．

[5] $\log_2 =0.3010$ ， $\log_3 =0.4771$ を用いて次の値を求めよ．

(1) $\log 125$

(2) $\log \cos 30^{\circ}$

(3) $\log \sqrt[3]{0.2}$

(4) $6^{52}$ の桁數

解析II

[3] 次の極限値を求む．

(1) $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}$

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{\log n-\log(n-1)\}$

(3) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})$

(4) $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\dfrac{1-\cos 3\theta}{\theta^2}$

[4] $f(x)=\dfrac{1-x}{2+x^2}$ とする．

(1) $x$ が増加するとき， $f(x)$ が増加するのは， $x$ がどんな範圍にあるときか．

(2) $x$ が増加するとき， $f(x)$ が減少するのは， $x$ がどんな範圍にあるときか．

(3) $f(x)$ の最大値を求む．

(4) $f(x)$ の最小値を求む．

(5) $f(x)$ のグラフをえがけ（方眼紙省略）．

[5] 曲線 $y=\sin x$ ， $0\leqq x\leqq \pi$ ，を $x$ 軸のまわりに一回轉してできる立體の體積を求む．

幾何

[3] 次の事柄は成り立つか，成り立つときは，番號の前の□の中に○印をつけよ．そうでないときには，番號の前の□の中に×印をつけてその成り立たないことを示す圖をえがけ．

□ (1) 外角の和が4直角である凸多角形は四角形である．

□ (2) 對應する二邊と一角の等しい二つの鋭角三角形は互に合同である．

□ (3) 半徑の等しい圓においては，長さの等しい弦の上に立つ圓周角は相等しい．

□ (4) 三角形を作る三直線から等距離にある點は，この平面上に四つある．

[4] 一つの楕圓の焦點を $\rm F_1$ ， $\rm F_2$ とする．この楕円上の一點を $\rm Q$ とし $\triangle\rm F_1QF_2$ の頂點 $\rm Q$ における外角の二等分線に，焦點から下した垂線の足 $\rm P$ は定圓周上にあることを證明せよ．

[5] 相交わる二定圓の一つの交點 $\rm A$ を通る任意の直線が再びこと二圓と交わる點を $\rm Q$ ， $\rm R$ とするとき，線分 $\rm QR$ を定比に分ける點 $\rm P$ の軌跡は何か．

一般數學

[3] 牛肉と鶏卵に含まれるたんぱく質の量および熱量は次の表のようになつている．鶏卵100gに加えて何g以上に牛肉を用いれば，たんぱく質は40g以上で，熱量は350cal以上の食品が出来るか．

	たんぱく質％	cal 100g につき
牛肉	20	140
鶏卵	13	150

[4] ある變量を $N$ 回測つて， $x_1$ ， $x_2$ ， $\cdots\cdots$ ， $x_N$ という數値がそれぞれ $f_1$ ， $f_2$ ， $\cdots\cdots$ ， $f_N$ 回得られた（ $f_1+f_2+\cdots\cdots+f_N=N$ ）．

(1) この變量の平均 $M$ はどう表わされるか．

(2) $M$ に近いと思われる一つの數を $M'$ とするとき $x_1-M'=h_1$ ， $x_2-M'=h_2$ ， $\cdots\cdots$ ， $x_N-M'=h_N$ となつたとすれば， $M$ は $M'$ と $h_1$ ， $h_2$ ， $\cdots\cdots$ ， $h_N$ でどう表されるか．