[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1942年(昭和17年)東京帝國大學(秋入学)工學部-數學[3]

曲線y=a-\dfrac{x^2}{2a}の上の一點 \rm P に於いて原點と反對側に引いた法線の上に點 \rm Q を採り，\rm PQ の長さをaに等しく採る場合に，點 \rm Q の軌跡とx軸との間に包まれる部分の面積を求めよ，但しaは正の實數とす。

2022.05.29記

[解答]
{\rm P}\left(t,a-\dfrac{t^2}{2a}\right) とおくと，法線の傾きは \dfrac{a}{t} だから
\vec{\rm OQ}=\vec{\rm OP}+\dfrac{a}{\sqrt{t^2+a^2}}\begin{pmatrix} t \\ a \end{pmatrix}
=\dfrac{1}{\sqrt{t^2+a^2}}\begin{pmatrix} at+t\sqrt{t^2+a^2} \\ a^2+ \left(a-\dfrac{t^2}{2a}\right)\sqrt{t^2+a^2} \end{pmatrix}
となる．ここで t=a\tan\theta(-\dfrac{\pi}{2}\lt \theta\lt\dfrac{\pi}{2}) とおくと
\cos\theta\gt 0 だから，\sqrt{t^2+a^2}=\dfrac{a}{\cos\theta} となることに注意すれば，
\vec{\rm OQ}=a\begin{pmatrix} \sin\theta+\tan\theta \\ 1+\cos\theta-\dfrac{\tan^2\theta}{2} \end{pmatrix}
となる．ここで \rm Q の y 座標が 0 となるのは
1+\cos\theta-\dfrac{\tan^2\theta}{2}=0
から
2\cos^3\theta+3\cos^2\theta-1=(2\cos\theta-1)(\cos\theta +1)^2=0
を経て \theta=\pm\dfrac{\pi}{3} のときであるから， 求める面積は
\displaystyle\int_{\theta=-\pi/3}^{\theta=\pi/3} y dx
=\displaystyle\int_{\theta=-\pi/3}^{\theta=\pi/3} \left(1+\cos\theta-\dfrac{\tan^2\theta}{2}\right)\left(\cos\theta + \dfrac{1}{\cos^2\theta}\right) d\theta
=\displaystyle\int_{0}^{\pi/3}\left(2\cos^2\theta +3\cos\theta+\dfrac{1}{\cos\theta}+\dfrac{3}{\cos^2\theta} -\dfrac{1}{\cos^4\theta} \right) d\theta
=\Bigl[ x+\dfrac{\sin 2x}{2}\Bigr]_{0}^{\pi/3}+\Bigl[ 3\sin\theta\Bigr]_{0}^{\pi/3}+\Bigl[ \dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\Bigr]_{0}^{\pi/3}+\Bigl[ 3\tan\theta\Bigr]_{0}^{\pi/3}-\Bigl[ \dfrac{1}{3}\tan^3\theta+\tan\theta\Bigr]_{0}^{\pi/3}
=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{11\sqrt{3}}{4}+\log(2+\sqrt{3})

計算間違いしてそうだ．