[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1942年(昭和17年)東京帝國大學(春入學)理學部-數學[2]

2020.05.20記

[2] e^x ノ展開ヲ利用シテ次ノ無限級數ノ和ヲ索メヨ．
\dfrac{1}{2\,!}+\dfrac{2}{3\,!}+\dfrac{3}{4\,!}+\cdots+\dfrac{n-1}{n\,!}+\cdots

2020.05.20記
e^x の展開を利用して、とあるので

[解答1]
e^x=1+x+\dfrac{1}{2\,!}x^2+\dfrac{1}{3\,!}x^3+\dfrac{1}{4\,!}x^4+\cdots+\dfrac{1}{n\,!}x^n+\cdots
となるので、
\dfrac{e^x}{x}=\dfrac{1}{x}+1+\dfrac{1}{2\,!}x+\dfrac{1}{3\,!}x^2+\dfrac{1}{4\,!}x^3+\cdots+\dfrac{1}{n\,!}x^{n-1}+\cdots
となる．微分して
\dfrac{xe^x-e^x}{x^2}=-\dfrac{1}{x^2}+0+\dfrac{1}{2\,!}+\dfrac{2}{3\,!}x+\dfrac{3}{4\,!}x^2+\cdots+\dfrac{n-1}{n\,!}x^{n-2}+\cdots
となる。x=1を代入して
0=-1+0+\dfrac{1}{2\,!}+\dfrac{2}{3\,!}+\dfrac{3}{4\,!}+\cdots+\dfrac{n-1}{n\,!}+\cdots
となる。よって求める値は1となる。
が模範解答となるだろう。

なお、

[解答2] \dfrac{n-1}{n\,!}=\dfrac{1}{(n-1)!}-\dfrac{1}{n\,!}を利用すると、求める値は
\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \dfrac{k-1}{k\,!} \displaystyle =\sum_{k=2}^{\infty} \Bigl(\dfrac{1}{(k-1)!}-\dfrac{1}{k\,!}\Bigr)=\dfrac{1}{1!}=1
となる。
のように解くこともできる。