1986年(昭和61年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[2] 長軸，短軸の長さがそれぞれ $4$ ， $2$ である楕(だ)円に囲まれた領域を $\mbox{A}$ とし，この楕円の短軸の方向に， $\mbox{A}$ を $\dfrac{1}{2}(\sqrt6-\sqrt2)$ だけ平行移動してできる領域を $\mbox{B}$ とする．このとき $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ の共通部分 $\mbox{C}=\mbox{A} \cap \mbox{B}$ の面積 $M$ を求めよ．ただし $\dfrac{1}{4}(\sqrt6+\sqrt2)=\cos\dfrac{\pi}{12}$ である．

注：方程式 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $a\gt 0$ ， $b\gt 0$ ）
で表される楕円において， $2a$ ， $2b$ の内大きい方を長軸の長さといい，他方を短軸の長さという．

本問のテーマ

楕円を円に変換する1次変換

2020.12.14記
楕円を円に変換すれば $\dfrac{\pi}{12}$ の意味がわかる．

$\dfrac{5\pi}{3}-1$

が答．

2023.08.29記

[解答]
$\mbox{A}$ の周の楕円の方程式を $\dfrac{x^2}{2^2}+\dfrac{y^2}{1^2}=1$ ，
$\mbox{B}$ の周の楕円の方程式を $\dfrac{x^2}{2^2}+\dfrac{\left(y-\dfrac{1}{2}(\sqrt6-\sqrt2)\right)^2}{1^2}=1$ ，
として良い．領域 $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ を $y$ 軸方向に $2$ 倍拡大した図形を領域 $\mbox{A}'$ と $\mbox{B}'$ とするとそれらの領域は
$x^2+y^2=4$ ， $x^2+\left(y-(\sqrt6-\sqrt2)\right)^2=4$
と共に半径2の円に囲まれた領域となる．

よって領域 $\mbox{A}'$ と $\mbox{B}'$ の共通部分の面積は2つの合同な弓形の面積の和となり，それらの弓形の弦の長さは
$2\sqrt{4-\left(\dfrac{1}{2}(\sqrt6-\sqrt2)\right)^2}=2\cdot \dfrac{1}{2}(\sqrt6+\sqrt2)=2\cos\dfrac{\pi}{12}$
であるから，中心角 $\dfrac{5}{6}\pi$ の扇型から作られる弦となる．

よって領域 $\mbox{A}'$ と $\mbox{B}'$ の共通部分の面積は
$2\times\left(\dfrac{1}{2}2^2\dfrac{5}{6}\pi-\dfrac{1}{2}\times(\sqrt6-\sqrt2)\times2\cdot \dfrac{1}{2}(\sqrt6+\sqrt2)\right)$
となり，求める面積はこの半分の
$\dfrac{5\pi}{3}-1$
となる．