[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1992年(平成4年)東京大学前期-数学(文科)[1]

2024.01.07記

[1] $x$ についての方程式 $px^2+(p^2-q)x-(2p-q-1)=0$ が解をもち，すべての解の実部が負となるような実数の組 $(p,q)$ の範囲を $pq$ 平面上に図示せよ．

(注) 複素数 $a+bi$ （ $a$ ， $b$ は実数， $i$ は虚数単位）に対し， $a$ をこの複素数の実部という．

2020.09.26記

[解答]
まず実数係数の2次方程式 $x^2+ax+b=0$ の2解の実部がともに負となるような条件を考える．

(a) 2解が実数のとき，和が負，積が正，判別式が非負
(b) 2解が虚数のとき，和が負，積は（共役複素数の積だから）正，判別式が負

であるから，必要十分条件は $a\gt0，b\gt 0$ である．

(i) $p=0$ のとき，1次方程式 $qx=q+1$ の解について考える．
$q=0$ のとき解なしで， $q\neq 0$ のときは $x=\dfrac{q+1}{q}\lt 0$ だから
$-1\lt q\lt 0$

(ii) $p\neq 0$ のとき，2次方程式 $x^2+\Bigl(p-\dfrac{q}{p}\Bigr)x-\Bigl(2-\dfrac{q}{p}-\dfrac{1}{p}\Bigr)=0$ の解について考えると，
$p-\dfrac{q}{p}\gt0$ かつ $2-\dfrac{q}{p}-\dfrac{1}{p}\lt 0$ が (ii) の必要十分条件．

両辺に $p^2\neq 0$ を掛けて整理すると
$p(q-p^2)\lt 0$ かつ $p(q-2p+1)\gt 0$ が (ii) の必要十分条件．

ここで $q=p^2$ 上の点 $(1,1)$ における接線が $q=2p-1$ であることに注意すると
$p^2 \gt 2p-1$ が成立するので， $q-p^2 \lt q-2p+1$ となる．

よって $p\gt 0$ かつ $2p-1\lt q\lt p^2$ が (ii) の必要十分条件．

(i)(ii) より求める必要十分条件は
$p\geqq 0$ かつ $2p-1 \lt q\lt p^2$
となる．