1946年(昭和21年)東京帝國大學理学部-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.06.02記

[3] $\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{xdx}{(1+x+x^2)^{\frac{3}{2}}}$ を求めよ．

2022.06.04記

[解答]
$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{xdx}{(1+x+x^2)^{\frac{3}{2}}}$
$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{(2x+1)dx}{(1+x+x^2)^{\frac{3}{2}}}$ $-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{dx}{(1+x+x^2)^{\frac{3}{2}}}$
$=\Bigl[-\dfrac{1}{(1+x+x^2)^{\frac{1}{2}}}\Bigr]_{0}^{\infty}$ $-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{dx}{\left\{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right\}^{\frac{3}{2}}}$
$=1-\dfrac{2}{3}\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/2} \cos\theta\, d\theta$ （ $x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta$ ）
$=1-\dfrac{2}{3}\left(1-\dfrac{1}{2}\right)$ $=\dfrac{2}{3}$

[別解]
$z=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}$ と置換すると $dz=-\dfrac{1}{x^2}dx$ であるから
$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{xdx}{(1+x+x^2)^{\frac{3}{2}}}$ $=-\displaystyle\int_{\infty}^{1/2}\dfrac{dz}{(z^2+3/4)^{\frac{3}{2}}}$ $=\displaystyle\int_{1/2}^{\infty}\dfrac{dz}{(z^2+3/4)^{\frac{3}{2}}}$
となる．ここで
$\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{z}{a^2\sqrt{z^2+a^2}}\right)$ $=\dfrac{1}{a^2\sqrt{z^2+a^2}}-\dfrac{z^2}{a^2\sqrt{z^2+a^2}^3}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{z^2+a^2}^3}$
であるから，
$=\dfrac{3}{4}\Bigl[\dfrac{z}{\sqrt{z^2+(3/4)}}\Bigr]_{1/2}^{\infty}$ $=\dfrac{3}{4}\left(1-\dfrac{1}{2}\right)$ $=\dfrac{2}{3}$