[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1946年(昭和21年)東京帝國大學理学部-數學[2]

2022.06.02記

[2] 0\leqq \theta\leqq\dfrac{\pi}{2}なるとき，\sin\theta\geqq\dfrac{2}{\pi}\thetaを證明せよ．

本問のテーマ
Jensen の不等式

2022.06.04記

[解答]
0\leqq \theta\leqq\dfrac{\pi}{2}なるとき，y=\sin\theta は上に凸であるから，(0,0),\left(\dfrac{\pi}{2},1\right) を結ぶ割線 y=\dfrac{2}{\pi}\theta よりも上側にある．よって \sin\theta\geqq\dfrac{2}{\pi}\thetaを證明せよ．

普通にやるなら，
f(\theta)=\sin\theta-\dfrac{2}{\pi}\theta
とおいて f''(\theta)\lt 0，0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2} から
f'(\theta)=\cos\theta-\dfrac{2}{\pi}
が単調減少となることから，
f(0)=0 から増加して，途中で減少に転じて f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 に辿り着く増減表をかけば良い。