1947年(昭和22年)東京帝國大學工學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] 二點の座標 ${\rm P}(-d,p)$ ， ${\rm Q}(d,q)$ の座標 $p$ ， $q$ の間に $ap+bq+c=0$ なる關係があるときは，直線 ${\rm PQ}$ は常に一定點を通ることを證明せよ．但し $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ は常數で， $a+b\neq 0$ とする．

2019.02.26記

解説:1947年9月から、東京帝国大学から東京大学へ名称変更のため、東京帝国大学としての入試は最後だと思われる。

[解答]
$d=0$ のとき，直線 ${\rm PQ}$ は常に $y$ 軸だから，常に原点を通る．

$d\neq 0$ のとき，直線 ${\rm PQ}$ は $(p-q)(x-d)+2d(y-q)=0$ ，整理して $p(x-d)+q(-x-d)+2dy=0$ だから $a,b,c$ の比が $x-d,-x-d,2dy$ の比となるような $x,y$ が存在すれば良い．

これを解くと $a+b\neq 0$ により $x=-\dfrac{d(a-b)}{a+b},y=-\dfrac{c}{a+b}$ となるので，定点 $\left(-\dfrac{d(a-b)}{a+b},-\dfrac{c}{a+b}\right)$ を通る．

[別解]
$d\neq 0$ のとき，直線 ${\rm PQ}$ は $(p-q)x+2dy-d(p+q)=0$ である．

$ap+bq+c=0$ をみたす任意の $(p,q),(p',q'),(p'',q'')$ に対して，3直線
$(p-q)x+2dy-d(p+q)=0$ ，
$(p'-q')x+2dy-d(p'+q')=0$ ，
$(p''-q'')x+2dy-d(p''+q'')=0$
が1点で交わることを示せば良く，この条件は
$\mbox{det}\begin{pmatrix} p-q & 2d & -d(p+q) \\ p'-q' & 2d & -d(p'+q') \\ p''-q'' & 2d & -d(p''+q'') \end{pmatrix}$ $= -2d^2\mbox{det}\begin{pmatrix} p-q & 1 & p+q \\ p'-q' & 1 & p'+q' \\ p''-q'' & 1 & p''+q'' \end{pmatrix}=0$
である．ここで
$\begin{pmatrix} p-q & 1 & p+q \\ p'-q' & 1 & p'+q' \\ p''-q'' & 1 & p''+q'' \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dfrac{a+b}{2} \\ c \\ \dfrac{a-b}{2} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} ap+bq+c \\ ap'+bq'+c \\ ap''+bq''+c \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
であるから，
$\mbox{rank}\begin{pmatrix} p-q & 1 & p+q \\ p'-q' & 1 & p'+q' \\ p''-q'' & 1 & p''+q'' \end{pmatrix}\leqq 2$
となり，
$\mbox{det}\begin{pmatrix} p-q & 1 & p+q \\ p'-q' & 1 & p'+q' \\ p''-q'' & 1 & p''+q'' \end{pmatrix}=0$
が成立する．

よって，直線 ${\rm PQ}$ は定点を通る．