[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2022.07.16記

[3] $0\leqq x\leqq 1$ なる區間に於ける $|(x+a)-(x^2+1)|$ の最大値を $M$ とする． $M$ が最も小さくなるやうに常數 $a$ を定めよ．

2022.07.17記

[解答]
$f(x)=x^2-x+1$ とおくと，その増減は

$x$	$0$	$\cdots$	$1/2$	$\cdots$	$1$
$f(x)$	$1$	$\searrow$	$3/4$	$\nearrow$	$1$

であるから， $|f(x)-a|$ の最大値は，
$\max\{|1-a|,|3/4-a|\}$
となり，これは $1$ と $3/4$ の中点 $a=\dfrac{1＋3/4}{2}=\dfrac{7}{8}$ のときに最小となる．

ちなみに，その最大値は $\dfrac{1-3/4}{2}=\dfrac{1}{8}$ である．