1957年(昭和32年)東京大学-数学(解析ＩＩ)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.13記

[2] 水を満たした半径r の球状の容器の最下端に小さな穴をあける．水が流れ始めた時刻を $0$ として時刻 $0$ から時刻 $t$ までに，この穴を通って流出した水の量を $f(t)$ ，時刻 $t$ における穴から水面までの高さを $y$ としたとき， $f(t)$ の導関数 $f′(t)$ と $y$ との間に
$f′(t)=\alpha\sqrt{y}$ （ $\alpha$ は正の定数）
という関係があると仮定する（ただし，水面はつねに水平に保たれているものとする）．水面の降下する速さが最小となるのは， $y$ がどのような値をとるときであるか，また水が流れ始めてからこのときまでに要する時間を求めよ．

2022.02.18記

[解答]
$f(t)=\pi\displaystyle \int_{y}^{2r} x(2r-x) dx$
であるから，
$f'(t)=\dfrac{df}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dt}=-\pi y(2r-y)\cdot \dfrac{dy}{dt}$
となり，微分方程式
$-\pi y(2r-y) \cdot \dfrac{dy}{dt}=\alpha\sqrt{y}$
が得られる．
$\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{\alpha}{\pi \sqrt{y}(2r-y)}$
の絶対値が最小となるのは，
$\sqrt{y}(2r-y)$
が最大となるときで， $\sqrt{y}=u$ とおくと，
$g(u)=2ru-u^3$ の $0\lt u\lt \sqrt{2r}$ における最大値は
$u=\sqrt{\dfrac{2r}{3}}$ のときだから， $y=\dfrac{2r}{3}$ のとき。

一方，
$-\pi (2ry^{1/2}-y^{3/2})dy=\alpha dt$
から積分定数 $C$ を用いて
$-\pi\left\{\dfrac{4r}{3}y^{3/2}-\dfrac{2}{5}y^{5/2}+C \right\}=\alpha t$
となる． $t=0$ で $y=2r$ だから
$-\pi\left\{\dfrac{4r}{3}y^{3/2}-\dfrac{2}{5}y^{5/2}-\dfrac{16\sqrt{2}}{15}r^{5/2}\right\}=\alpha t$
となるので， $y=\dfrac{2r}{3}$ のとき
$t=\dfrac{\pi}{\alpha}\left(\dfrac{16\sqrt{2}}{15}-\dfrac{32\sqrt{2}}{45\sqrt{3}}\right)r^{5/2}$
となる．