[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2022.07.16記

[1] 次の級數の和を求めよ．
$f(T)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\frac{nA}{T}}$

もし $A\ll T$ なるとき $f(T)\mbox{≒}\dfrac{T}{A}$ なることを證明せよ．

2022.07.17記

[解答] 初項 $1$ ，公比 $e^{-\frac{A}{T}}$ の無限等比級数であるから，求める和は $f(T)=\dfrac{1}{1-e^{-\frac{A}{T}}}$ である．

また， $|x|\ll 1$ のとき $e^x\mbox{≒}1+x$ であるから，
$A\ll T$ なるとき
$f(T)\mbox{≒}\dfrac{1}{1-\left(1-\dfrac{A}{T}\right)}=\dfrac{T}{A}$ となる．