2015年山形大学工学部-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.24記

[3] 数列 $\{a_n\}$ ， $\{b_n\}$ を
$a_n=(-1)^n\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}dx$ （ $n=1,2,3,\cdots$ ）
$b_n=a_{n+1}-a_n$ （ $n=1,2,3,\cdots$ ）
と定めるとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(1) $a_1=\log 2-1$ を示せ．

(2) $b_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n+1}$ を示せ．

(3) $a_n=\log 2-\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k+1}}{k}$ を示せ．

(4) $x\geqq 0$ のとき $\dfrac{1}{1+x}\leqq 1$ であることを用いて， $|a_n|\leqq\dfrac{1}{n+1}$ を示せ．

(5) $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k}$ を求めよ．

本問のテーマ

メルカトル級数

2023.10.29記

[解答]
(1) $a_1=-\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{1+x}dx$ $=\Bigl[\log(1+x)-1\Bigr]_0^1$ $=\log 2-1$
である．

(2) $b_n=(-1)^{n+1}\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^{n+1}-x^n}{1+x}dx$ $=(-1)^{n+1}\displaystyle\int_0^1 x^n dx$ $=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n+1}$
である．

(3) $a_0$ を $a_0=(-1)^0\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^0}{1+x}dx$ $=\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{1+x}dx$ $=\Bigl[\log(1+x)\Bigr]_0^1$ $=\log 2$ で定め， $b_0$ を $b_0=a_1-a_0=-1=\dfrac{(-1)^{0+1}}{0+1}$ で定めると， $n\geqq 1$ で
$a_n=a_0+\displaystyle\sum_{k=1}^{n} b_{k-1}$ $=\log 2 +\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{(-1)^{k}}{k}$ $=\log 2 -\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k}$
が成立する．

(4) $x\geqq 0$ のとき $\dfrac{1}{1+x}\leqq 1$ であるから，
$|a_n|=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}dx$ $\leqq \displaystyle\int_0^1 x^n dx$ $=\dfrac{1}{n+1}$
となる．

ことを用いて， $|a_n|\leqq\dfrac{1}{n+1}$ を示せ．

(5) (4)より $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=0$ だから，(3) より
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k}=\log 2$
となる．

参考：
1948年(昭和23年)東京大学医学部医学科-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR