1948年(昭和23年)東京大学工学部-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.04.03記

[2] 與えられた半圓に内接し，その直徑に平行な軸を持つ楕圓のうちで，面積が最大なものの離心率を求めよ．

2022.07.19記

[解答]
半円の周または内部の式を $x^2+y^2=1,x\geqq 0$ とする．

半直線 $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ （ $r\geqq0$ ）
と楕円が交点をもつような $\theta$ （ $0\leqq\theta\leqq\pi$ ）の範囲を考える．

その範囲が $\theta_1\leqq\theta\leqq\theta_2$ ( $0\leqq\theta_1$ ， $\theta_2\leqq\pi$ )であったとき，楕円を原点中心回転することにより $\dfrac{\pi-\theta_2+\theta_1}{2}\leqq\theta\leqq \dfrac{\pi+\theta_2-\theta_1}{2}$ の範囲と左右対称な範囲となるように楕円を移動することができるので，最初から楕円の軸の片方が $x$ 軸に平行であるとして良い．

楕円の軸の片方が $x$ 軸に平行であるとき，楕円が $x$ 軸に接しない場合，楕円を拡大して $x$ 軸に接しさせることができるので，楕円が $x$ 軸に接するとして良い．

よって楕円の式を
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{(y-b)^2}{b^2}=1$ ( $0\lt b\leqq\dfrac{1}{2}$ )
とおくことができる．

これが半円と接するので
$\dfrac{1-y^2}{a^2}+\dfrac{(y-b)^2}{b^2}=1$ ，
つまり
$(a^2-b^2)y^2-2a^2by+b^2=0$
の判別式が0となる．よって
$a^4b^2-(a^2-b^2)b^2=0$
となるが $b\gt 0$ より
$b^2=a^2-a^4$
となる． $0\lt b\leqq\dfrac{1}{2}$ のとき $1\lt a^2 \leqq 1$ だから
$a^2b^2=a^4-a^6$
の $1\lt a^2 \leqq 1$ における最大値を求めれば良く $A=a^2$ として
$f(A)=A^2-A^3$ の $1\lt A \leqq 1$ における最大値を求めれば良い．

$f'(A)=2A-3A^2$ で $A=0,\dfrac{2}{3}$ だから

$A$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{2}{3}$	$\cdots$	$1$
$f'(A)$		$+$	$0$	$-$
$f(A)$	$0$	$\nearrow$	$\dfrac{4}{27}$	$\searrow$	$0$

となり， $A=\dfrac{2}{3}$ ，つまり $(a^2,b^2)=\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{9}\right)$ となり，離心率は $a\gt b$ より
$\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$ $=\dfrac{\sqrt{a^2-(a^2-a^4)}}{a}$ $=a$ $=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$