[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1949年(昭和24年)東京大学(新制)-数学(解析ＩＩ)

[1] 次の事柄は正しいか，正しいときには，番號の後へ○印をつけよ．もし一般には正しくないときには，番號の後へ×印をつけて，その成り立つための條件を書け．

1. ある整数が整数 a でも整数 b でも割り切れるならば，これは a\times b で割り切れる．

2. ax-b=0 ならば x=\dfrac{b}{a}

3. ax \gt b ならば x \gt \dfrac{b}{a}

4. a \gt b ならば a^2 \gt b^2

5. z が x に正比例し，かつ y に反比例すれば x は y\times z に正比例する．

[2] 次の括弧の中に適當な言葉を入れよ．

1. 二等邊三角形は (\quad\quad ) に關して對稱である．

2. 菱形は (\quad\quad ) ような平行四邊形である．

3. 正五角形の一つの内角の大きさは (\quad\quad ) 度である．

4. 球の表面積は半徑の (\quad\quad )に比例し，その體積は半徑の (\quad\quad ) に比例する．

5. 三つの稜の長さが 3，4，12 である直方體内の二點間の距離は (\quad\quad ) を超えない．

[3] 次の事柄は正しいか，正しいときには，番號の後に○印をつけよ．そうでないときには番號の後に×印をつけて，その成り立たない例をあげよ．

1. \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n{}^2=a^2 ならば \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=a

2. \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=a，\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=b ならば \displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{a}{b}，

3. \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=a，\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=b，a_n \lt b_n ならば a \lt b

4. \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\infty，\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=\infty ならば \displaystyle\lim_{n\to\infty} (a_n-b_n)=0

5. \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\infty，\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=-\infty ならば \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_nb_n=-\infty

[4] 與えられた直圓錐のなかに含まれていて，それと同じ軸をもつ直圓柱のうちで體積の最大なものを求めよ．

[5] 座標がそれぞれ (0,\,-5)，(2,\,3)，(4,\,3) である三點を通つて，軸が y 軸に平行な抛物線と x 軸とで圍まれた部分の面積を求めよ．

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