1948年(昭和23年)東京大学医学部薬学科-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.04.03記

[1] 次の極限値を求めよ．
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\Bigl\{x-x^2\log\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)\Bigr\}$

2020.04.07記

[解答]
十分大きな $x\gt 0$ について
$\log\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2x^2}+\dfrac{1}{3x^3}+\cdots$
となるので，
$x-x^2\log\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3x}+\cdots$
となり，求める極限値は $\dfrac{1}{2}$

2022.07.20記

[解答]
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\Bigl\{x-x^2\log\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)\Bigr\}$ $=\displaystyle\lim_{t\to+0}\dfrac{t-\log(1+t)}{t^2}$
において，コーシーの平均値の定理から
$\dfrac{(t-\log(1+t))-0}{t^2-0}$ $=\dfrac{1-1/(1+c)}{2c}=\dfrac{1}{2(1+c)}$
なる $c$ が $0$ と $t$ の間に存在する． $t\to +0$ で $c\to +0$ だから，
求める極限は
$\displaystyle\lim_{c\to+0}\dfrac{1}{2(1+c)}=\dfrac{1}{2}$

[解答]
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\Bigl\{x-x^2\log\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)\Bigr\}$ $=\displaystyle\lim_{t\to+0}\dfrac{t-\log(1+t)}{t^2}$
の分子分母は0に収束するので，ロピタルの定理から
$\displaystyle\lim_{t\to+0}\dfrac{1-1/(1+t)}{2t}$ $=\displaystyle\lim_{t\to+0}\dfrac{1}{2(1+t)}=\dfrac{1}{2}$