1958年(昭和33年)東京大学-数学(解析Ｉ)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] $x$ に関する方程式 $x^2+2(1-\cos\alpha^{\circ})x+(1-\sin\alpha^{\circ})^2=0$ が実根をもつとき， $x$ に関する方程式
$x^2-2x+\cos(\alpha^{\circ}+45^{\circ})+1=0$
は実根をもつか虚根をもつかしらべよ．

2019.04.03記

[解答]
$x^2+2(1-\cos\alpha^{\circ})x+(1-\sin\alpha^{\circ})^2$ $=(x+1-\cos\alpha^{\circ})^2-(2-\sin\alpha^{\circ}-\cos\alpha^{\circ})(\cos\alpha^{\circ}-\sin\alpha^{\circ})$ $=0$
が実根をもつとき、cosとsin は同時に1にはならないので $2-\sin\alpha^{\circ}-\cos\alpha^{\circ}\gt 0$ であるから，
$\cos\alpha^{\circ}-\sin\alpha^{\circ}\leqq 0$ である。
このとき、 $x^2-2x+\cos(\alpha^{\circ}+45^{\circ})+1$ $=(x-1)^2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\cos\alpha^{\circ}-\sin\alpha^{\circ})=0$ は実根
$x=1\pm\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sin\alpha^{\circ}-\cos\alpha^{\circ})}$
をもち、虚根をもたない。

2020.10.25記

[別解]
$x^2+2(1-\cos\alpha^{\circ})x+(1-\sin\alpha^{\circ})^2$ $=(x+1-\cos\alpha^{\circ})^2-(2-\sin\alpha^{\circ}-\cos\alpha^{\circ})(\cos\alpha^{\circ}-\sin\alpha^{\circ})$ $=0$
が実根をもつとき、cosとsin は同時に1にはならないので $2-\sin\alpha^{\circ}-\cos\alpha^{\circ}\gt 0$ であるから，
$\cos\alpha^{\circ}-\sin\alpha^{\circ}\leqq 0$ である。
よって $45+360n \leqq \alpha \leqq 225+360n$ なる整数 $n$ が存在する．
このとき $90+360n \leqq \alpha+45 \leqq 270+360n$ であるから，
$\cos(\alpha^{\circ}+45^{\circ})\leqq 0$
となり，
$x^2-2x+\cos(\alpha^{\circ}+45^{\circ})+1=0$
の判別式について
$-4\cos(\alpha^{\circ}+45^{\circ})\geqq 0$
が成立する．

よって，もとの方程式は実根をもち、虚根をもたない．