[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1952年(昭和28年)東京大学-数学(幾何)[2]

[2] 半径 $R$ の定円の周上を，その内側にある半径 $\dfrac{R}{2}$ の円がすべらずにころがるとき，小円の周上の一点の軌跡を求めよ．

2020.03.17記

有名問題で、答は直径となる。

定円の中心を $\rm O$ とする。小円の周上の一点 $\rm P$ が定円との接点となる状況において、その接点を $\rm A$ とし、直径 $\rm AB$ を考える。

円がころがって，接点が $\rm Q$ となったとする。 $\rm OQ$ の中点（そのときの小円の中心の位置）を $\rm M$ とすると、そのときの点 $\rm P$ において、定円の弧 $\rm QA$ の長さと、小円の弧 $\rm QP$ の長さは等しく、円の半径の比が $2:1$ なので、中心角に関して $\rm\angle QMP=2\angle QOA$ が成立する。円周角の定理から、 $\rm\angle QMP=2\angle QOP$ であるから， $\rm\angle QOA=\angle QOP$ となり、 $\rm O$ ， $\rm P$ ， $\rm A$ は同一直線上にある。つまり、 $\rm P$ は直径 $\rm AB$ 上にある。

点 $\rm P$ は定円の内部にあり、連続的に動き、点 $\rm A$ 、 $\rm B$ （点 $\rm A$ 以外に点 $\rm P$ が定円の接点となるのは、小円の半径が定円の半径の半分なので、直径の他端 $\rm B$ だけである）の両方に到達できるので、（端点を含む）直径 $\rm AB$ 全体が求める軌跡である。