1952年(昭和28年)東京大学-数学(幾何)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] (i) $\angle\rm AOB$ を平面上の角， $\rm P$ をその平面上の任意の点とする。直線 $\rm OA$ に関する $\rm P$ の対称点を $\rm P'$ とし，直線 $\rm OB$ に関する $\rm P'$ の対称点を $\rm P''$ とすれば， $\rm P''$ は $\rm P$ を $\rm O$ の周りに $2\angle\rm AOB$ 回転した点と一致することを証明せよ．

(ii) $\triangle\rm ABC$ の平面上の任意の点を $\rm P$ とする。その平面上で $\rm P$ を図のように $\rm B$ のまわりに $2\angle\rm CBA$ 回転し，次に $\rm A$ のまわりに $2\angle\rm BAC$ 回転し，さらに $\rm C$ のまわりに $2\angle\rm ACB$ 回転すれば最後の位置はどこになるか．

(ii) の問題文は少々変であるが、2種類の文献が同じ文章だったので、そのまま記載している。

2020.03.17記

[解答]
(i) $\rm P$ が $\rm O$ のときは $\rm P''=O$ より題意をみたす．

それ以外のとき， $\rm A$ ， $\rm B$ ， $\rm P$ の偏角を $\alpha$ ， $\beta$ ， $\theta$ とすると， $\rm P'$ の偏角は $\alpha-(\theta-\alpha)=2\alpha-\theta$ であり， $\rm P''$ の偏角は $2\beta-(2\alpha-\theta)=\theta+2(\beta-\alpha)$ であるから， $\rm P$ を $\rm O$ の周りに $2\angle\rm AOB$ 回転した点と一致する。

(ii) (i) により，点 $\rm P$ を直線 $\rm BC$ ， $\rm BA$ に関して対称移動させ，次に直線 $\rm AB$ ， $\rm AC$ に関して対称移動させ，さらに直線 $\rm CA$ ， $\rm CB$ に関して対称移動させた位置となる．同じ直線に関する対称移動を2回続けて行なうと元に戻ることに注意すると，最後の位置は最初の位置と一致する．

2020.09.28記
本問から， $\rm B$ のまわりに $2\angle\rm CBA$ 回転と $\rm A$ のまわりに $2\angle\rm BAC$ 回転の合成変換が， $\rm C$ のまわりに $-2\angle\rm ACB$ 回転であることがわかる．

つまり， $\rm B$ 中心 $\beta$ 回転と $\rm A$ 中心 $\alpha$ 回転の合成変換は， $\alpha+\beta$ が $2\pi$ の整数倍でなければ，ある点 $\rm C$ 中心 $\alpha+\beta$ 回転となることがわかる． $\rm C$ の場所は $\angle\rm BCA=\pi-\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ をみたす点のうちの1つである．