1967年(昭和42年)東京大学-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[2] 一平面上に3個の半径1の円があり，それぞれ点 ${\rm A}(0，0)$ ，点 ${\rm B}(2\sqrt{3}，0)$ ， ${\rm C}(\sqrt{3}，3)$ を中心とする．このとき，次の条件 (i) と (ii) を満たす点 $\rm P$ の存在する範囲を定め，その面積を求めよ。

(i) 点 $\rm P$ は円 $\rm A$ ，円 $\rm B$ ，円 $\rm C$ のすべての外部にある．

(ii) 点 $\rm P$ から円 $\rm A$ ，円 $\rm B$ ，円 $\rm C$ に引いた接線の接点をそれぞれ $\rm R，S，T$ とするとき，
$\overline{\rm PR}^2+\overline{\rm PS}^2+\overline{\rm PT}^2\lt 36$

2022.05.02記

[解答]
点 ${\rm P}(x,y)$ とする． $\overline{\rm PA}^2=\overline{\rm PR}^2+1$ などにより，
$\overline{\rm PA}^2+\overline{\rm PB}^2+\overline{\rm PC}^2\lt 39$
つまり
$(x-\sqrt{3})^2+(y-1)^3\lt 9$
となる．よって求める領域は $\triangle{\rm ABC}$ の重心 ${\rm G}(\sqrt{3},1)$ を中心とする半径3の円の内部(境界を除く)のうち3つの小円の外部(境界除く)となる．

その面積は $9\pi-3\pi=6\pi$

$\overline{\rm PA}^2+\overline{\rm PB}^2+\overline{\rm PC}^2$
は $\triangle{\rm ABC}$ の重心 ${\rm G}(\sqrt{3},1)$ からの位置ベクトルで考えると
$|\vec{p}-\vec{a}|^2+|\vec{p}-\vec{b}|^2+|\vec{p}-\vec{c}|^2$
$=3|\vec{p}|^2+|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2<39$
となる．今 $\rm GA=GB=GC$ $=2$ だから
$3|\vec{p}|^2+12<39$
から
$=\vec{p}\cdot\vec{p}<9$
が得られる（位置ベクトルの始点は $\rm G$ であることに注意）