1966年(昭和41年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[1] ある鉄道の旅客運賃計算規則は下記のとおりであり，それによると，距離が319 km，349 kmのとき，運賃は，それぞれ970円，1010円となる．下記の文中の $a，b$ にあてはまる数を求めよ．ただし $a，b$ はともに0.1の整数倍である．

旅客運賃は，距離が300 km以下の分に対しては1 kmにつき $a$ 円，300 kmを超過した分に対しては1 kmにつき $b$ 円として計算し，その結果において，10円未満の端数（はすう）は10円に切り上げるものとする．

[2] 平面上のある直線 $l$ の上の任意の点 $(x,y)$ に対し，点 $(4x+2y，x+3y)$ がふたたび $l$ の上にあるという．このような直線 $l$ をすべて求めよ．

[3] 3直線 $x+y-1=0$ ， $x-y+1=0$ ， $3x+4y−5=0$ で囲まれる三角形の内心の座標と，内接円の半径を求めよ．

[4] 半径1の定円 $\rm O$ の周上に1 点 $\rm A$ が与えられている． $\rm A$ を中心とする円が，円 $\rm O$ の直径 $\rm AA'$ と交わる点を $\rm R$ ，円 $\rm O$ と交わる点を $\rm P，Q$ とするとき，四辺形 $\rm APRQ$ の面積の最大値を求めよ．

[5](新課程) 空間の2 点 $(10，2，5)$ ， $(−6，10，11)$ を直径の両端とする球面がある．

(1) この球面が， $xy$ 平面からきりとる円の面積を求めよ．
(2) この球面が， $z$ 軸からきりとる線分の長さを求めよ．

[5](旧課程) 点 $\rm O$ を中心とする定円の円周上に1 点 $\rm A$ を固定し， $\rm O$ とも $\rm A$ とも異なる点 $\rm P$ を半径 $\rm OA$ 上にとる．点 $\rm P$ を通り $\rm OA$ に垂直な弦の一端における円の接線が， $\rm OA$ の延長と交わる点を $\rm Q$ とする．

点 $\rm P$ が点 $\rm A$ に近づくときの $\dfrac{\overline{\rm PQ}}{\overline{\rm PA}}$ の極限を求めよ．ただし， $\overline{\rm PQ}$ ， $\overline{\rm PA}$ はそれぞれ線分 $\rm PQ$ ， $\rm PA$ の長さである．

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1966年(昭和41年)東京大学-数学(文科)[5](新課程) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1966年(昭和41年)東京大学-数学(文科)[5](旧課程) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR