1955年(昭和30年)東京大学-数学(一般数学)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.01.17記

[3] $10$ 個の数字 $0，1，…，9$ のどれかをとる変数 $\alpha$ と $\beta$ がある． $x=3.\alpha，y =2.\beta$ とし，これらを四捨五入して得られる整数をそれぞれ $a，b$ とする． $x+y$ と $a+b$ との差の絶対値が $0.5$ より小さくなる確率を求めよ．
ただし $\alpha$ と $\beta$ は互いに独立で，どの数字をとる確率もすべて等しいとする．

2022.01.17記

$x,y$ の整数部分は本質的ではなく、また100通り計算しても一瞬で終わる。

[解答]

(i) $\alpha,\beta$ がともに切り上げられるとき：
求める条件は
$\alpha\geqq 0.5$ ， $\beta\geqq 0.5$ ， $\alpha+\beta\gt 1.5$
であるから，
$\alpha\geqq 0.5$ ， $\beta\geqq 0.5$ をみたす25通りのうち
$(10\alpha,10\beta)=(9,9),(9,8),(8,9),(9,7),(8,8),(7,9)$
の $1+2+3=6$ 通りが題意をみたす．

(ii) $\alpha,\beta$ がともに切り捨てられるとき：
求める条件は
$\alpha\leqq 0.4$ ， $\beta\leqq 0.4$ ， $\alpha+\beta\lt 1.5$
であるから，
$\alpha\leqq 0.4$ ， $\beta\leqq 0.4$ をみたす25通りのうち
$(10\alpha,10\beta)=(0,0),(1,0),(0,1),(2,0),(1,1),(0,2)$ ，
$(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)$ ，
$(4,0),(3,1),(2,2),(1,3),(0,4)$
の $1+2+3+4+5=15$ 通りが題意をみたす．

(iii) $\alpha$ が切り上げられて $\beta$ が切り捨てられるとき：
求める条件は
$\alpha\geqq 0.5$ ， $\beta\leqq 0.4$ ， $0.5\lt \alpha+\beta\lt 1.5$
であるから，
$\alpha\geqq 0.5$ ， $\beta\leqq 0.4$ をみたす25通りのうち
$(10\alpha,10\beta)=(5,0)$ 以外の24通りが題意をみたす．

(iv) $\alpha$ が切り捨てられて $\beta$ が切り上げられるとき：
(iii) と同様に24通りが題意をみたす．

以上から，求める確率は $\dfrac{6+15+24+24}{100}=\dfrac{69}{100}$

もし， $\alpha,\beta$ がそれぞれ $0.0$ から $9.9$ までの100通りを等確率でとる場合はどうだろうか？
(i) は $1.51\leqq \alpha+\beta \leqq 1.98$ となる場合を考えて
$\dfrac{48\cdot 49}{2}=1176$ 通り

(ii) は $0\leqq \alpha+\beta \leqq 0.49$ となる場合を考えて
$\dfrac{50\cdot 51}{2}=1275$ 通り

(iii),(iv) はそれぞれ $2499$ 通り

となり，求める確率は $\dfrac{7449}{10000}$ となる．

さらに $\alpha,\beta$ がそれぞれ閉区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとしたらどうなるだろうか？

(i) $\alpha\geqq 0.5$ かつ $\beta\geqq 0.5$ かつ $\alpha+\beta\gt 1.5$
または
(ii) $\alpha\lt 0.5$ かつ $\beta\lt 0.5$ かつ $\alpha+\beta\lt 0.5$
または
(iii) $\alpha\geqq 0.5$ ， $\beta\lt 0.5$ ， $0.5\lt \alpha+\beta\lt 1.5$
または
(iv) $\alpha\lt 0.5$ ， $\beta\geqq 0.5$ ， $0.5\lt \alpha+\beta\lt 1.5$

の領域の面積を求めれば良いので，求める確率は $\dfrac{3}{4}$ となる．