[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1955年(昭和30年)東京大学-数学(解析Ｉ)

2022.01.12記

[1] 任意の実数 $x，y$ に対して，不等式
$x^2+4xy+4y^2+10x+ay+b\gt 0$
がつねに成り立つために定数 $a，b$ の満足するべき条件を求めよ．

[2] 二つの二次方程式
$x^2+x \cos\theta+\sin\theta =0$ ， $x^2+x\sin\theta+\cos\theta =0$
が少くとも一つの実根を共有するとき， $\theta$ の値を求めよ．ただし， $0^{\circ}\lt\theta\lt 360^{\circ}$ とする．

[3] 図のように長方形 $\rm ABCD$ の中にたがいに外接する二円 ${\rm O}，{\rm O}′$ があって，円 $\rm O$ は $\rm AB$ と $\rm BC$ に接し，円 ${\rm O}′$ は $\rm AD$ と $\rm DC$ に接する．
このとき二円の面積の和を円 $\rm O$ の半径 $x$ の函数 $f(x)$ と考えてそのグラフをえがきその函数の最大値と最小値を求めよ．
ただし ${\rm AB}=8a，{\rm BC}=9a$ とする．

注意． $f(x)$ のグラフをえがくのには，右図のような座標軸を答案用紙に写しとって用いよ．

［図が2 つ］

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