1971年(昭和46年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.10.08記

[1] 変数 $t$ が $0$ から $\pi$ まで動くとき，
$x=2\cos \left( t-\dfrac{\pi}{6} \right) , \quad y=\cos \left( t+\dfrac{\pi}{3} \right)$
によってあらわされる点
$(x,y)$ と原点 $(0,0)$ との間の距離の最大値，最小値およびそれらをとる $t$ の値を求めよ．

[2] 正数 $x$ を与えて，
$2a_1=x, \quad 2a_2={a_1}^2+1, \quad \cdots, \quad 2a_{n+1}={a_n}^2+1, \quad \cdots$
のように数列 $\{ a_n \}$ を定めるとき，

(1) $x\neq 2$ ならば， $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_n\lt \cdots$ となることを証明せよ．

(2) $x\lt 2$ ならば， $a_n\lt 1$ となることを証明せよ．このとき，正数 $\varepsilon$ を $1-\dfrac{x}{2}$ より小となるようにとって， $a_1，a_2，\cdots，a_n$ までが $1-\varepsilon$ 以下となったとすれば，個数 $n$ について次の不等式が成り立つことを証明せよ．
$2-x>n{\varepsilon}^2$

[3] 与えられた実数係数の整式 $f(x)$ について
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx=2, \quad \int_{0}^{1} xf(x)\,dx=3$
となるとする．そのとき，
$\displaystyle \int_{0}^{1} \{ f(x)-ax-b \}^2 \,dx$
の値を最小にする実数 $a$ および $b$ の値を求めよ．

[4] $x$ の整式
$f_n(x)=1+\dfrac{x}{1 \, !}+\dfrac{x^2}{2 \, !}+\cdots+\dfrac{x^n}{n \, !}$ （ $n=1，2，\cdots$ ）
について
$f_n ' (x)=f_{n-1}(x)$ （ $n=2，3，\cdots$ ）
が成り立つことを証明せよ．

方程式 $f_n(x)=0$ は， $n$ が奇数ならばただ1つの実根をもち， $n$ が偶数ならば実根をもたないことを数学的帰納法をもちいて証明せよ．

[5] $n$ を正の整数とし， $\left(\cos\dfrac{2\pi}{n}k,\sin\dfrac{2\pi}{n}k\right)$ を座標とする点を ${\rm Q}_k$ であらわす．
このとき， $n$ 個の点 $\rm Q_0，Q_1，\cdots，Q_{n-1}$ によって円周 $x^2+y^2=1$ は $n$ 等分される．

平面上の点 $\rm P$ の座標を $(a,b)$ とし，
$s_n=\dfrac{1}{n}({\overline{\rm PQ_0}}^2+\overline{\rm PQ_1}^2+\cdots+\overline{{\rm PQ}_{n-1}}^2)$
とするとき， $\displaystyle \lambda_{\rm P}=\lim_{n\to\infty}s_n$ の値を $a$ ， $b$ をもちいてあらわせ．
また， $\rm P$ がどこにあれば $\lambda_{\rm P}$ の値は最小となるか．

[6] 3人で‘ジャンケン’をして勝者をきめることにする．たとえば，1人が‘紙’を出し，他の2人が‘石’を出せば，ただ1回でちょうど1人の勝者がきまることになる．3人で‘ジャンケン’をして，負けた人は次の回に参加しないことにして，ちょうど1人の勝者がきまるまで‘ジャンケン’をくり返えすことにする．このとき， $k$ 回目に，はじめてちょうど1人の勝者がきまる確率を求めよ．

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