[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1955-01-06

1955年(昭和30年)東京大学-数学(解析Ｉ)[1]

2022.01.12記

[1] 任意の実数 $x，y$ に対して，不等式
$x^2+4xy+4y^2+10x+ay+b\gt 0$
がつねに成り立つために定数 $a，b$ の満足するべき条件を求めよ．

2022.01.12記

[解答]

$x^2+4xy+4y^2+10x+ay+b=(x+2y+5)^2+(a-20)y-(b-25)$
と変形できるので，求める条件は
「 $a=20$ かつ $b\gt 25$ 」である．

[大人の解答]
$z=x^2+4xy+4y^2+10x+ay+b$ とおくと、これは $xyz$ 空間で下に凸な図形となる。
極小値は、
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=2x+4y+10=0$ ， $\dfrac{\partial z}{\partial y}=4x+8y+a=0$
をみたすので、 $x+2y+5=0$ かつ、 $a=20$ のときであり、極小値かつ最小値は $b-25$ となる．
よって求める条件は「 $a=20$ かつ $b\gt 25$ 」である．