1955年(昭和30年)東京大学-数学(幾何)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.10記

[1] 任意の三角形ABC の外側に， $\rm AB$ ， $\rm AC$ をそれぞれ一辺とする平行四辺形 $\rm ABDE$ ， $\rm ACFG$ を任意に作り，直線 $\rm DE$ ， $\rm FG$ の交点を $\rm H$ とする．
次に $\triangle \rm ABC$ の辺 $\rm BC$ を一辺として平行四辺形 $\rm BCKL$ を $\rm CK//HA$ ， $\rm CK=HA$ となるように作れば ▱ $\rm ABDE+$ ▱ $\rm ACFG=$ ▱ $\rm BCKL$ となることを証明せよ．

[図]

2022.02.10記
外積（行列式）の線型性
$\vec{\rm BA}+\vec{\rm AC}=\vec{\rm BC}$
であるから， $\vec{\rm AH}=\vec{\rm CK}=\vec{\rm LB}$ により，
$\mbox{det}(\vec{\rm BA},\vec{\rm AH})+\mbox{det}(\vec{\rm AC},\vec{\rm AH})=\mbox{det}(\vec{\rm BC},\vec{\rm LB})$
が成立し，よって
$\mbox{det}(\vec{\rm BA},\vec{\rm BD})+\mbox{det}(\vec{\rm AC},\vec{\rm AG})=\mbox{det}(\vec{\rm LK},\vec{\rm LB})$ ，
つまり ▱ $\rm ABDE+$ ▱ $\rm ACFG=$ ▱ $\rm BCKL$ となる。

これを等積変形に焼き直してやれば良い。

[解答]

$\rm LB$ と $\rm DE$ の交点を $\rm I$ ， $\rm KC$ と $\rm FG$ の交点を $\rm J$ とし，
$\rm HA$ と $\rm BC，LK$ の交点をそれぞれ $\rm M，N$ とする。

このとき， $\rm BI=AH=NM=CJ$ により，
▱ $\rm ABDE=$ ▱ $\rm ABIH=$ ▱ $\rm NLBM$ ，
▱ $\rm ACFG=$ ▱ $\rm ACJH=$ ▱ $\rm NKCM$
となるので，
▱ $\rm ABDE+$ ▱ $\rm ACFG=$ ▱ $\rm NLBM+$ ▱ $\rm NKCM=$ ▱ $\rm BCKL$
となる。