[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1956年(昭和31年)東京大学-数学(一般数学)

2022.02.10記

[1] 一定量の $a\%$ のアルコールがある．今第1回目にはその半分を汲みすてて $x\%$ のアルコールでおぎない，第1回目にはこのようにして得られたアルコールの半分を汲みすてて $y\%$ のアルコールでおぎなう．
このように半分を汲みすてて $x\%$ のアルコールでおぎなうことと， $y\%$ のアルコールでおぎなうことを交互に続けるとする．

(i)このような操作を $n$ 回行ったときには何 $\%$ のアルコールとなるか．

(ii)この操作を限りなく続けるとき，偶数回目と奇数回目のアルコールの濃さはそれぞれどのようになるか．

[2] 甲が乙から $A$ 円を月利 $r$ で借り，かつ同時に丙に月利 $s$ で $B$ 円を貸したとする．一月ごとの複利法によって， $n$
箇月後に甲が乙に支払うべき元利合計を $P_n$ 円，甲が丙から受け取るべき元利合計を $Q_n$ 円とし，また $Q_n−P_n =D_n$ とする．このとき $n$ には無関係で $r，s$ のみによって定まる定数 $a，b$ を適当に選べば
$D_{n+2} =aD_{n+1}+bDn$ ， $n=1，2，3，…$
が成り立つことを示し，かつ $a，b$ を求めよ．ただし $r \neq s$ とする．

[3] 右の図は $\triangle\rm ABC$ の投影図で，a，b，c および a′，b′，c′ はそれぞれ頂点 $\rm A，B，C$ の平面図および立面図である．

(i) $\triangle \rm ABC$ の平面と平画面とのなす角 $\theta$ を作図せよ．

(ii) aa′ $=p$ ，cc′ $=q$ ，b′c′ $=r$ ，ab $=s$ として $\triangle\rm ABC$ の面積を $p，q，r，s$ で表せ．
注）平画面とは水平投影図のこと

[圖]

1956年(昭和31年)東京大学-数学(一般数学)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
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