1956年(昭和31年)東京大学-数学(解析Ｉ)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.10記

[1] 放物線 $y =x^2+3x−1$ 上の相異なる2 点が直線 $x+y =0$ に関して対称であるとき，これら 2 点の座標を求めよ．

2022.02.10記
$y=x$ に関して対称移動させるときは， $x$ と $y$ を入れかえる訳だが，これは
$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
なる線型変換が
$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$
となることから導かれる。

$x+y=0$ に関して対称移動させるときは，
$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$
なる線型変換から
$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}$
となる。

[解答]
$y =x^2+3x−1$ を $x+y=0$ に関して対称移動させた図形は $-x =y^2-3y−1$ であり，これら2つの図形の交点は，差を考えることにより
$y+x =x^2-y^2+3(x+y)$
をみたす。異なる2点は $x+y\neq 0$ をみたすので，後者から $1=x-y+3$ ，つまり $x-y=-2$ となり， $y =x^2+3x−1$ から $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)=0$ となるので， $(x,y)=(-3,-1)，(1,3)$ となる．

対称性の高い連立方程式を戦略的には，差だけでなく和も考えて，
$-x+y =x^2+y^2+3(x-y)−2$ ， $y+x =x^2-y^2+3(x+y)$
とし，異なる2点は $x+y\neq 0$ をみたすので，後者から
$1=x-y+3$ ，つまり $x-y=-2$ となり，前者から $x^2+y^2=10$ となる．
$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$ から $x(-y)=-3$ が得られるので，
$x, -y$ は $t$ の2次方程式 $t^2+2t-3=0$ の2解となる．
よって $(x,-y)=(1,-3)，(-3,1)$ となり， $(x,y)=(1,3)，(-3,-1)$ となる，とすれば良い。