[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1956-01-11

1956年(昭和31年)東京大学-数学(解析ＩＩ)[3]

2022.02.10記

[3] $10n$ 本のくじの中に当りくじが $n$ 本ある．

(1) このくじを10 本引いて，そのうちの1 本だけが当りくじである確率 $p_n$ を求めよ．

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} p_n$ を求めよ．

2022.02.10記

[解答]
(1) $p_n=\dfrac{{}_{9n}\mbox{C}_{9}\cdot{}_{n}\mbox{C}_{1}}{{}_{10n}\mbox{C}_{n}} =\dfrac{{}_{9n}\mbox{P}_{9}}{{}_{10n-1}\mbox{P}_{9}}$ である。

(2) $p_n=\dfrac{9}{10-\dfrac{1}{n}}\cdot\dfrac{9-\dfrac{1}{n}}{10-\dfrac{2}{n}}\cdot\dfrac{9-\dfrac{8}{n}}{10-\dfrac{9}{n}}$
であるから，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} p_n=\left(\dfrac{9}{10}\right)^9$
となる．

$n\to\infty$ の極限では，非復元抽出を復元抽出とみなして良いことになり，当たる確率が $\dfrac{1}{10}$ のくじを10回引いたときに1回だけ当たる確率
${}_{10}\mbox{C}_{1}\left(\dfrac{1}{10}\right)^1\left(\dfrac{9}{10}\right)^9$
に収束するという訳である。