2000年(平成12年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2019.04.03記

[2] 複素数平面上の原点以外の相異なる $2$ 点 $\mbox{P}(\alpha)$ ， $\mbox{Q}(\beta)$ を考える． $\mbox{P}(\alpha)$ ， $\mbox{Q}(\beta)$ を通る直線を $l$ ，原点から $l$ に引いた垂線と $l$ の交点を $\mbox{R}(w)$ とする．ただし，複素数 $\gamma$ が表す点 $\mbox{C}$ を $\mbox{C}(\gamma)$ とかく．このとき，

「 $w=\alpha\beta$ であるための必要十分条件は， $\mbox{P}(\alpha)$ ， $\mbox{Q}(\beta)$ が中心 $\mbox{A}\left(\dfrac{1}{2}\right)$ ，半径 $\dfrac{1}{2}$ の円周上にあることである．」
を示せ．

2019.04.03記
点 $\alpha$ を通り複素数 $w(\neq 0)$ に垂直な直線の方程式 $\mbox{Re}\left(\dfrac{z-\alpha}{w}\right)=0$ となることを利用する。

[解答]
$l$ は ${\rm R}(w)$ を通り， $\rm OR$ に垂直な直線であるから，その方程式は $\mbox{Re}\left(\dfrac{z-w}{w}\right)=0$ つまり $\mbox{Re}\left(\dfrac{z}{w}\right)=1$ である．よって $\rm A,B$ が $l$ 上にある必要十分条件は $\mbox{Re}\left(\dfrac{\alpha}{w}\right)= \mbox{Re}\left(\dfrac{\beta}{w}\right)=1$ である．よって
$w=\alpha\beta\rightleftarrows\mbox{Re}\left(\dfrac{1}{\beta}\right)$ $= \mbox{Re}\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)=1$ $\rightleftarrows\mbox{Re}(\bar{\alpha})=|\,\alpha\,|^2,\mbox{Re}(\bar{\beta})=|\,\beta\,|^2$ $\rightleftarrows \left|\,\alpha-\dfrac{1}{2}\,\right|^2=\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^2,\left|\,\beta-\dfrac{1}{2}\,\right|^2=\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^2$
となる．

ここで、最後の変形は $|\, z-p\,|^2=|\,z\,|^2-(\bar{p}z+p\bar{z})+|\,p\,|^2=|\,z\,|^2-\mbox{Re}(2\bar{p}z)+|\,p\,|^2$ で $z=\alpha$ (または $\beta$ )、 $p=\dfrac{1}{2}$ とおいた。

1958年の複素数の問題
1958年(昭和33年)東京大学数学(解析Ｉ)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
も参照しておくと良い。