1998年(平成10年)東京大学前期-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.07記

[2] $a$ ， $b$ は実数で， $b\neq 0$ とする． $xy$ 平面に原点 $\mbox{O}(0,0)$ および $2$ 点 $\mbox{P}(1,0)$ ， $\mbox{Q}(a,b)$ をとる．

(1) $\triangle\mbox{OPQ}$ が鋭角三角形となるための $a$ ， $b$ の条件を不等式で表し，点 $(a,b)$ の範囲を $ab$ 平面上に図示せよ．

(2) $m$ ， $n$ を整数とする． $a$ ， $b$ が(1)で求めた条件を満たすとき，不等式
$(m+na)^2-(m+na)+n^2b^2\geqq 0$
が成り立つことを示せ．

2020.09.26記

[解答]
(1) ３つの角度が鋭角になる条件を幾何的に図示すると， ${\rm OP}$ を直径とする円の外のうち， ${\rm O}$ を通り ${\rm OP}$ に垂直な直線と ${\rm P}$ を通り ${\rm OP}$ に垂直な直線で挟まれた部分．式で書くと
$0\lt a\lt 1$ かつ $a(a-1)+b^2>0$ （ $\Bigl(a-\dfrac{1}{2}\Bigr)^2+b^2\gt 1$ ）
となる．

(2) (i) $n=0$ のとき， $m(m-1)$ は任意の整数 $m$ に対して非負だから題意は成立．

(i) $n\neq 0$ のとき， $(m+na)^2-(m+na)+n^2b^2\geqq 0$ は $\Bigl(a+\dfrac{m}{n}\Bigr)\Bigl(a+\dfrac{m-1}{n}\Bigr)+b^2\geqq 0$ と変形でき，これは $\Bigl(-\dfrac{m}{n},0\Bigr)$ と $\Bigl(-\dfrac{m}{n}+\dfrac{1}{n},0\Bigr)$ を直径とする円の周または外部を表す。