[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1957年(昭和32年)東京大学-数学(解析Ｉ)[2]

2022.02.11記

[2] 原点を通る直線が，3 点 $\rm A(1，0)$ ， $\rm B(0，1)$ ， $\rm C\Bigl(\dfrac{3}{2}，0\Bigr)$ を頂点とする三角形を，面積の等しい2 つの部分に分けるとき，その直線の勾配（傾き）を求めよ．

2022.02.11記
メネラウスの定理。

[解答]
原点を通る直線と $\rm AB$ ， $\rm AC$ の交点をそれぞれ $\rm P，Q$ とする．

$\rm OA:AC=$ $2:1$ であり， $\rm BQ:QC=$ $2:k$ とすると，メネラウスの定理より $\rm BP:PA=$ $3:k$ となる．

よって，三角形を2等分する $k$ の値は $(2+k)(3+k)=2\cdot 2\cdot 3$ をみたし， $k\gt 0$ より $k=1$ となる．

このとき， ${\rm Q}\left(1,\dfrac{1}{3}\right)$ となるので，求める直線の傾きは $\dfrac{1}{3}$ となる．