1957年(昭和32年)東京大学-数学(解析Ｉ)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.11記

[1] $\rm ABCD$ を1 辺の長さが1 の正方形とする．頂点 $\rm A$ より発した光が辺 $\rm BC$ にあたって反射し，以下次々に正方形の辺にあたって反射するものとする．最初，辺 $\rm BC$ にあたる点を ${\rm P}_1$ とし，以下次々に辺にあたる点を ${\rm P}_2$ ， ${\rm P}_3$ ，……とする．
${\rm BP}_1 =t$ とおき， ${\rm P}_3$ から辺 $\rm AD$ ， $\rm AB$ に至る距離をそれぞれ $x，y$ とするとき， $x+y$ を $t$ の関数とみなして，そのグラフをえがけ．ただし，光が正方形の頂点にあたる場合は除外する．

［図］

2022.02.11記

[解答]
$0\lt t\lt\dfrac{1}{3}$ のときは， ${\rm P}_3(1,3t)$ だから， $x+y=3t+1$ である．

$\dfrac{1}{3}\lt t\lt\dfrac{1}{2}$ のときは， ${\rm P}_2{\rm P}_3$ は $(-2,0)$ を通り傾き $t$ の直線だから， ${\rm P}_3$ は，この直線と $y=1$ 交点で ${\rm P}_3\left(\dfrac{1-2t}{t},1\right)$ だから， $x+y=\dfrac{1}{t}-2$ である．

$\dfrac{1}{2}\lt t\lt 1$ のときは， ${\rm P}_2{\rm P}_3$ は $(2,2)$ を通り傾き $-t$ の直線だから， ${\rm P}_3$ は，この直線と $y$ 軸の交点で ${\rm P}_3(0,2-2t)$ だから $x+y=2-2t$ である．

以上を図示すれば良い

(図示略)