2024.02.24記
【数学I代数】
[1] 平面上の点 に
，
によって定まる点
を対応させる．
(i) 四点 ，
，
，
を頂点とする長方形は，この対応によってどのような図形にうつるか．図をかいて説明せよ．ただし
，
とする．
(ii) その図形の面積ともとの長方形の面積との比を求めよ．
[2] 井戸に小石を落としたところ，小石が水面に達した音が 秒後に聞こえた．
(i) 重力の加速度を ，音の速度を
，地面から水面までの距離を
とするとき，
を
，
，
で表わせ．ただし空気の抵抗は無視するものとする．
(ii) 音が伝わるのに要する時間を無視すれば， の近似値として
が得られる．
このとき，相対誤差 が与えられた正数
より小さくなるためには，
は
，
，
によって定まるある限界より小さくなければならない．この限界を求めよ．
【数学I幾何】
[1] 二つの円弧 と
が弦
の同じ側にあって，いずれも半円より大きいとする．
を通る直線
が弧
，
と交わる点をそれぞれ
，
とすれば，
がどのような位置にあるとき線分
の長さが最大となるか．
[2] の内部に
をとり，その三辺
，
，
はそれぞれ
の三辺
，
，
に平行で，対応する辺の間の距離はいずれも
であるとする．
の周が
の周の
であるとき，
を
，
，
で表わせ．ただし
，
，
とする．
fig
【数学II】
[1] 時刻 における点
の位置
がつぎの方程式(i)，(ii)，(iii)，(iv)によって与えられている．各場合について，
が
から
まで変わるとき点
のえがく軌跡を下の例にならって図示せよ．
例
Fig
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
[2] ，
は実の定数で，
である．このとき，
を任意の正の数とすれば
に関する二次方程式
は虚根をもつ．それらを ，
（
，
は実数で
）とすれば，
が正の範囲を動くとき点
はどのような曲線をえがくか．それを図示せよ．
【数学III】
[1] ，
を実の定数とするとき，定積分
を求めよ．また を最小にする
，
の値を定めよ．
[2] ，
平面上の点
を
，直線
を
とする．
を含み
軸に垂直な平面上に，
を中心とし
と角
をなす長さ
の線分
をとり，
，
から
軸に下ろした垂線の足をそれぞれ
，
とする．ねじれ四辺形
を
軸のまわりに回転するときできる立体の体積を求めよ．
fig
