1976年(昭和51年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.12記

[1] 負でない実数 $r$ ， $l$ に対して， $xy$ 平面上の曲線
$y=\left\{\begin{array}{ll} x^2 & (0 \leqq x \leqq r) \\ r^2 & (r \leqq x \leqq l+r) \\ (x-l-2r)^2 & (l+r \leqq x \leqq l+2r) \end{array}\right.$
を考え，
これを $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を $V$ とする． $r^2$ と $l$ の和が正の定数 $c$ になるように $r$ と $l$ を変化させるとき，
$V$ の最大値を与えるような $r$ と $l$ の値を求めよ．

[2] 時刻 $t=0$ に原点を出発し， $xy$ 平面上で次の条件(i)，(ii) に従っていろいろに運動する動点 $\mbox{P}$ がある．

(i) $t=0$ における $\mbox{P}$ の速度を表わすベクトルの成分は $(1,\sqrt{3})$ である．

(ii) $0\lt t\lt 1$ において， $\mbox{P}$ は何回か（ $1$ 回以上有限回）直角に左折するが，そのときを除けば $\mbox{P}$ は一定の速さ $2$ で直進する．（ただし，左折するのに要する時間は $0$ とする）

このとき，時刻 $t=1$ において $\mbox{P}$ が到達する点を $\mbox{Q}$ として， $\mbox{Q}$ の存在しうる範囲を図示せよ．

[3] $0\lt t\lt 1$ であるような $t$ のおのおのの値に対して， $x$ の関数 $f(x)=\dfrac{x+t}{x(1-tx)}$ を考える．

(i) 区間 $0\lt x\lt 1$ において $f(x)$ の最小値を与える $x$ の値 $\alpha$ は $t$ に関係して定まる数である． $t$ が $0$ から $1$ に向って動くとき，点 $(\alpha,f(\alpha))$ はどのように動くかを図示せよ．

(ii) $0\lt x\leqq t$ において $f(x)$ の最小値を与える $x$ の値を $\beta$ とする． $t$ が $0$ から $1$ に向かって動くとき，点 $(\beta,f(\beta))$ はどのように動くかを図示せよ．

[4]（新課程）点 $\mbox{P}(x,y)$ は $xy$ 平面上の円 $C:(x-5)^2+(y-5)^2=r^2$ （ $r>0$ ）の上を動く動点である．このとき点 $\mbox{P}$ の点 $\mbox{A}(9,0)$ に関する対称点を $\mbox{Q}$ とし，また点 $\mbox{P}$ を原点 $\mbox{O}$ のまわりに正の向きに $\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転した点を $\mbox{R}$ とする．点 $\mbox{P}$ が円 $C$ の上を動くときの線分 $\mbox{QR}$ の長さの最小値 $f(r)$ と最大値 $g(r)$ とを求めよ．また $f(r)$ が $0$ となるような $r$ の値を求めよ．

[4]（旧課程） $xy$ 平面上に3つの円 $A$ ， $B$ ， $C$ があって，それぞれ
$A:x^2+y^2=9$ ，
$B:{(x-4)}^2+{(y-3)}^2=4$ ，
$C:{(x-5)}^2+{(y+3)}^2=1$
で表わされる．
この平面上の点 $\mbox{P}$ から円 $A$ ， $B$ ， $C$ に接線がひけるとき，
$\mbox{P}$ からそれらの接点までの距離をそれぞれ $\alpha(\mbox{P})$ ， $\beta(\mbox{P})$ ， $\gamma(\mbox{P})$ とする．このとき
${\alpha(\mbox{P})}^2+{\beta(\mbox{P})}^2+{\gamma(\mbox{P})}^2=99$
となる点 $\mbox{P}$ の全体が作る曲線を図示し，その長さを求めよ．

[5]（新課程） $z$ 軸を軸とする半径 $1$ の円柱の側面で， $xy$ 平面より上（ $z$ 軸の正の方向）にあり，平面 $x-\sqrt{3}y+z=1$ より下（ $z$ 軸の負の方向）にある部分を $D$ とする． $D$ の面積を求めよ．

[5]（旧課程）点 $\mbox{P}$ は $xy$ 平面の原点 $\mbox{O}$ を時刻 $t=0$ に出発して， $x$ 軸上を正の向きに動く．時刻 $t$ において
$x\mbox{軸}$ ， $\mbox{曲線}y=\dfrac{x^2+1}{x+1}$ ， $y\mbox{軸}$ ， $\mbox{P}\mbox{を通って}y\mbox{軸に平行な直線}$
で囲まれた図形の面積を $S$ とする． $\mbox{P}$ が点 $(x,0)$ を通過するときの $S$ の変化率 $\dfrac{dS}{dt}$ は $x^2+1$ に等しいという．このとき $S$ を $t$ の式で表わせ．ただし $\mbox{P}$ の座標は時刻 $t$ の微分可能な関数とする．

[6]（新課程） $\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=O$ ， $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$ とかく．
実数 $a$ ， $b$ に対し $A=\begin{pmatrix}0 & a \\ 1 & b \end{pmatrix}$ とおく．
いま $xI+yA$ （ $x$ ， $y$ は実数）の形に表わされる行列全体からなる集合を $R$ とし， $R$ から $O$ を除いた集合を $G$ とする．