1973年(昭和48年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.09記

[1] $\mbox{S}$ を中心 $\mbox{O}$ ，半径 $a$ の球面とし， $\mbox{N}$ を $\mbox{S}$ 上の $1$ 点とする．点 $\mbox{O}$ において線分 $\mbox{ON}$ と $\dfrac{\pi}{3}$ の角度で交わるひとつの平面の上で，点 $\mbox{P}$ が点 $\mbox{O}$ を中心とする等速円運動をしている．その角速度は毎秒 $\dfrac{\pi}{12}$ であり，また $\overline{\mbox{OP}}=4a$ である．点 $\mbox{N}$ から点 $\mbox{P}$ を観測するとき， $\mbox{P}$ は見えはじめてから何秒間見えつづけるか．また $\mbox{P}$ が見えはじめた時点から見えなくなる時点までの， $\overline{\mbox{NP}}$ の最大値および最小値を求めよ．ただし球面 $\mbox{S}$ は不透明であるものとする．

[2] $x_1$ ， $x_2$ ， $\cdots\cdots$ ， $x_n$ はおのおの $0$ ， $1$ ， $2$ のどれかの値をとる． $f_1=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i$ ， $f_2=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2$ のとき
$f_k=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}^k$
（ $k=1$ ， $2$ ， $3$ ， $\cdots\cdots$ ）
を $f_1$ と $f_2$ とを用いて表わせ．

[3] 区間 $1\leqq x\leqq 3$ において次のように定義された関数 $f(x)$ がある．
$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1 & (1 \leqq x \leqq 2), \\ x-1 & (2 \leqq x \leqq 3). \end{array} \right.$
いま実数 $a$ に対して，区間 $1\leqq x\leqq 3$ における関数 $f(x)-ax$ の最大値から最小値を引いた値を $V(a)$ とおく．このとき次の問に答えよ．

(i) $a$ がすべての実数にわたって動くとき， $V(a)$ の最小値を求めよ．

(ii) $V(a)$ の最小値を与えるような $a$ の値を求めよ．

[4] 平面上に1辺の長さが $1$ の正方形 $\mbox{S}$ がある．この平面上で $\mbox{S}$ を平行移動して得られる正方形で，点 $\mbox{P}$ を中心にもつものを $\mbox{T}(\mbox{P})$ とする．このとき，
共通部分 $\mbox{S}\cap\mbox{T}(\mbox{P})$ の面積が $\dfrac{1}{2}$ 以上となるような点 $\mbox{P}$ の存在範囲を図示せよ．またこの範囲の面積を求めよ．