1982年(昭和57年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.23記

[1] 平面上に2定点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ があり，線分 $\mbox{AB}$ の長さ $\overline{\mbox{AB}}$ は $2(\sqrt{3}+1)$ である．この平面上を動く3点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ があって，つねに
$\overline{\mbox{AP}}=\overline{\mbox{PQ}}=2$ ， $\overline{\mbox{QR}}=\overline{\mbox{RB}}=\sqrt{2}$
なる長さを保ちながら動いている．このとき，点 $\mbox{Q}$ が動きうる範囲を図示し，その面積を求めよ．

[2] $xy$ 平面上の曲線 $y=x^2$ 上の $3$ 点を， $x$ 座標の小さいものから順に $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ とする． $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ との $x$ 座標の差は $a$ （ $a$ は正の定数）， $\mbox{B}$ と $\mbox{C}$ との $x$ 座標の差は $1$ ，という関係を保ちながら3点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ が動く．

$\angle\mbox{CAB}$ が最大になるときの，点 $\mbox{A}$ の $x$ 座標を $a$ で表わせ．また， $\angle\mbox{CAB}$ が最大になるときに， $\angle\mbox{ABC}$ が直角になるような $a$ の値を求めよ．

[3] $a$ ， $b$ を整数として， $x$ の4次方程式 $x^4+ax^2+b=0$ の $4$ つの解を考える．いま， $4$ つの解の近似値
$-3.45$ ， $-0.61$ ， $0.54$ ， $3.42$ がわかっていて，これらの近似値の誤差の絶対値は $0.05$ 以下であるという．真の解を小数第2位まで正しく求めよ．

[4] $A=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ とおく． $xy$ 平面において， $(1,1)$ を座標とする点 $\mbox{P}_0$ から始めて，点列 $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_2$ ，…，をつぎのような手続きで作っていく． $\mbox{P}_n$ の座標を $(x_n,y_n)$ とするとき，

(イ) $x_n+y_n\geqq\dfrac{1}{100}$ のときは， $(x_{n+1},y_{n+1})$ を $\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} x_n \\ y_n\end{pmatrix}$ または $\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1}\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix} x_n \\ y_n\end{pmatrix}$ のどちらかが成りたつように決める．

(ロ) $x_n+y_n\lt \dfrac{1}{100}$ のときは， $(x_{n+1},y_{n+1})$ を $\begin{pmatrix} x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} x_n\\y_n\end{pmatrix}$ によって決める．