2003年(平成15年)東京大学前期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.13記

[3] $xyz$ 空間において，平面 $z=0$ 上の原点を中心とする半径 $2$ の円を底面とし，点 $(0,0,1)$ を頂点とする円錐(すい)を $A$ とする．次に，平面 $z=0$ 上の点 $(1,0,0)$ を中心とする半径 $1$ の円を $H$ ，平面 $z=1$ 上の点 $(1,0,1)$ を中心とする半径 $1$ の円を $K$ とする． $H$ と $K$ を2つの底面とする円柱を $B$ とする．円錐 $A$ と円柱 $B$ の共通部分を $C$ とする．

$0\leqq t\leqq 1$ を満たす実数 $t$ に対し，平面 $z=t$ による $C$ の切り口の面積を $S(t)$ とおく．

(1) $0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ とする． $t=1-\cos\theta$ のとき， $S(t)$ を $\theta$ で表せ．

(2) $C$ の体積 $\displaystyle\int_{0}^{1} S(t)\,dt$ を求めよ．

2021.01.19記

[解答]
(1) $z=t$ による切り口は，極表示 $(r,\varphi)$ で
円 $r=2\cos\varphi$ の $0\leqq r\leqq 2\cos\theta$ （ $\theta$ は定数）の部分となる．
よって，求める面積は
$\displaystyle\int_{\pi/2}^{\theta} r \cdot 2\varphi\cdot dr$ $=\displaystyle\int_{\pi/2}^{\theta} 2\cos\varphi \cdot 2\varphi\cdot (-2\sin\varphi)\, d\varphi$ $=\displaystyle\int_{\theta}^{\pi/2} 4\varphi \sin 2\varphi \, d\varphi$ $=\Bigl[-2\varphi \cos2\varphi+\sin2\varphi\Bigr]_{\theta}^{\pi/2}$ $=\pi+2\theta\cos2\theta-\sin2\theta$

(2) $\displaystyle\int_0^1 S(t)dt$ $=\pi+\displaystyle\int_0^{\pi/2} \{2\theta \cos2\theta-\sin 2\theta\}\sin\theta d\theta$
$=\pi+\displaystyle\int_0^{\pi/2} \{\theta(\sin3\theta-\sin\theta)-2\sin^2\theta\cos\theta\} d\theta$
$=\pi+\Bigl[\theta\Bigl(-\dfrac{1}{3}\cos3\theta+\cos\theta\Bigr)-\dfrac{2}{3}\sin^3\theta\Bigr]_0^{\pi/2}$ $-\displaystyle\int_0^{\pi/2} \Bigl(-\dfrac{1}{3}\cos3\theta+\cos\theta\Bigr) d\theta$
$=\pi+\Bigl[\theta\Bigl(-\dfrac{1}{3}\cos3\theta+\cos\theta\Bigr)-\dfrac{2}{3}\sin^3\theta\Bigr]_0^{\pi/2}$ $-\displaystyle\int_0^{\pi/2} \Bigl(-\dfrac{1}{3}\cos3\theta+\cos\theta\Bigr) d\theta$
$=\pi-\dfrac{2}{3}-\Bigl[ -\dfrac{1}{9}\sin3\theta+\sin\theta\Bigr]_0^{\pi/2}$
$=\pi-\dfrac{2}{3}-\dfrac{10}{9}$ $=\pi-\dfrac{16}{9}$

[別解]
(1) $z=t$ による切り口は
$x^2+y^2=4\cos^2\theta$ ， $(x-1)^2+y^2=1$ の共通部分である．
これは半径 $2\cos\theta$ ，中心角 $2\theta$ の扇形の弓形の部分と
半径 $1$ ，中心角 $2\pi-4\theta$ の扇形との弓形の部分の和だから,
$S(t)=\dfrac{1}{2}\cdot (2\cos\theta)^2\cdot (2\theta-\sin 2\theta)$ $+\dfrac{1}{2}\cdot 1^2\cdot \{(2\pi-4\theta)-\sin (2\pi-4\theta)\}$
$=4\theta \cos^2\theta-2\cos^2\theta\sin 2\theta+\pi-2\theta+\dfrac{1}{2}\sin 4\theta$
$=2\theta \cos2\theta-\sin 2\theta+\pi$

(2) 略