1963年(昭和38年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.19記

[4] 一辺の長さ $a$ の正四面体 $\rm ABCD$ の辺 $\rm AB$ ， $\rm AC$ ， $\rm AD$ の上に $\rm A$ から等距離にそれぞれ点 $\rm P，Q，R$ をとり， $\rm P，Q，R$ から面 $\rm BCD$ に下した垂線の足をそれぞれ ${\rm P}'$ ， ${\rm Q}'$ ， ${\rm R}'$ とする．

[zu]

2022.02.19記
1辺の長さ $a$ 正四面体は 1辺の長さ $\dfrac{a}{\sqrt{2}}$ の立方体に埋め込まれることから，その体積は $\dfrac{a^3}{6\sqrt{2}}$ となり，底面積が $\dfrac{\sqrt{3}a^2}{4}$ となることから，高さは $\sqrt{\dfrac{2}{3}}a$ となる．

だけど本問では使わない．任意の三角錐について成り立つ話だからだ．

[解答]
正四面体の体積を $V$ ，底面積を $S$ ，高さを $H$ とし，正四面体 $\rm APQR$ の高さを $h$ とすると，三角柱の体積は
$\left(S\cdot\dfrac{h^2}{H^2}\right)\times(H-h)$ $=\dfrac{S}{H^2}\cdot h^2(H-h)$
で表される．

AM-GM 不等式より
$\dfrac{h}{2}+\dfrac{h}{2}+(H-h)\geqq 3\sqrt[3]{\dfrac{h^2(H-h)}{4}}$
つまり
$\dfrac{4H^3}{27} \geqq h^2(H-h)$ （等号は $h=\dfrac{2H}{3}$ ）
が得られる．

(1) ${\rm AP}=a\cdot\dfrac{h}{H}=\dfrac{2a}{3}$

(2) $V=\dfrac{1}{3}SH$ ， $V_0=\dfrac{S}{H^2}\cdot\dfrac{4H^3}{27}$ $=\dfrac{4}{27}SH$
であるから
$\dfrac{V_0}{V}=\dfrac{4}{9}$