1963年(昭和38年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.19記

[2] $\rm P$ は平面上の定点， $l$ はこの平面上の定直線で， $\rm P$ から $l$ までの距離は $\sqrt{3}+1$ である．また， $\rm Q，R，S$ はこの平面上の動点で， $\rm S$ は $l$ 上にあるものとする． $\rm PQ，QR，RS$ の長さはそれぞれ一定で， $2+\sqrt{2}$ ， $2-\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}-1$ に等しい．このとき $\rm R$ の動きうる範囲を図示し，その面積を求めよ．

[zu]

2022.02.19記

[解答]
$l$ を $x$ 軸とし， ${\rm P}(0,\sqrt{3}+1)$ となるような座標をとる．

${\rm R}(X,Y)$ が与えられたときに，長さ ${\rm PR}$ のみたす条件は
${\rm PQ}-{\rm QR}\leqq {\rm PR}\leqq {\rm PQ}+{\rm QR}$
から，
$8\leqq X^2+(Y-\sqrt{3}-1)^2\leqq 16$
である．

また， ${\rm R}(X,Y)$ が与えられたときに， ${\rm S}$ が存在する条件は，
$|Y|\leqq \sqrt{3}-1$ である．

以上から， $\rm R$ の動きうる範囲は

$8\leqq X^2+(Y-\sqrt{3}-1)^2\leqq 16$
かつ
$|Y|\leqq \sqrt{3}-1$

となる．以上の範囲を図示すれば良い．

[図示略]

範囲の面積は，
半径 $4$ ，中心角 $120^{\circ}$ の扇形から
半径 $4$ ，中心角 $60^{\circ}$ の弓形，
半径 $2\sqrt{2}$ ，中心角 $90^{\circ}$ の扇形，および
斜辺 $4$ ，頂角 $120^{\circ}$ の二等辺三角形を引き，
斜辺 $2\sqrt{2}$ ，頂角 $90^{\circ}$ の二等辺三角形を加えれば求まり，
$\dfrac{2}{3}\pi+4$
となる．

面積を求めるときに良い角度がでるようにした結果，辺の長さがややこしくなったという訳だが，良くうまく見つけたものだ。