2002年(平成14年)東京大学前期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.13記

[3] $xyz$ 空間内の原点 $\mbox{O}(0,0,0)$ を中心とし，点 $\mbox{A}(0,0,-1)$ を通る球面を $S$ とする． $S$ の外側にある点 $\mbox{P}(x,y,z)$ に対し， $\mbox{OP}$ を直径とする球面と $S$ との交わりとして得られる円を含む平面を $L$ とする．点 $\mbox{P}$ と点 $\mbox{A}$ から平面 $L$ へ下した垂線の足をそれぞれ $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ とする．このとき， $\mbox{PQ} \leqq \mbox{AR}$ であるような点 $\mbox{P}$ の動く範囲 $V$ を求め， $V$ の体積は $10$ より小さいことを示せ．

本問のテーマ

束
反転

2021.01.18記
まずは，束の考え方を用いて $L$ （と $xz$ 平面の交線）の方程式を導く解法．

[解答]
条件は $z$ 軸に関する回転対称性をもつので， $xz$ 平面での切り口を考え，それを $z$ 軸まわりに回転させれば良い．

${\rm P}(p,q)$ （ $p^2+q^2\gt 1$ ）とおくと， ${\rm OP}$ を直径とする円上の点 ${\rm X}(x,y)$ について $\angle\rm OXP=90^{\circ}$ であるから， $|\vec{\rm OX}|^2=\vec{\rm OX}\cdot\vec{\rm OP}$ となる．つまり， $x^2+z^2=px+qz$ となる．
よって， $x^2+z^2=1$ との2交点（ ${\rm O}$ は単位円の内部， ${\rm P}$ は単位円の外部だから2円は2交点をもつ）を通る直線は
$px+qz=1$ である．
よって求める条件は ${\rm A}$ が $px+qz=1$ の負領域， ${\rm P}$ が正領域にあることから
$\dfrac{p^2+q^2-1}{\sqrt{p^2+q^2}}\leqq \dfrac{q+1}{\sqrt{p^2+q^2}}$ ，つまり $p^2+\Bigl(q-\dfrac{1}{2}\Bigr)^2\leqq \Bigl(\dfrac{3}{2}\Bigr)^2$

よって求める体積 $V$ は $V=\dfrac{4}{3}\pi\Bigl(\dfrac{27}{8}-1\Bigr)=\dfrac{19\pi}{6}\lt \dfrac{19\times 3.15}{6}=9.975\lt 10$

次に反転を用いて条件を導く解法．一応 $\sin\theta$ が $0$ か否かで場合分けしておいた．

[解答]
条件は $z$ 軸に関する回転対称性をもつので， $xz$ 平面での切り口を考え，それを $z$ 軸まわりに回転させれば良い．

このとき， $xz$ 平面で， $\rm P$ を単位円に関して反転させたものが $\rm Q$ である．
よって， ${\rm P}(x,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ （ $r\gt 1$ ）とおくと，
${\rm Q}\Bigl(\dfrac{1}{r}\cos\theta,\dfrac{1}{r}\sin\theta\Bigr)$ となる．

(i) $\sin\theta\neq 0$ のとき，
$L$ と $xz$ 平面の切り口は $(\cos\theta)x+(\sin\theta)z=\dfrac{1}{r}$ となる（ヘッセの標準形）．

ここで， $L$ と $z$ 軸の交点を ${\rm K}$ とおくと， ${\rm K}\Bigl(0,\dfrac{1}{r\sin\theta}\Bigr)$ だから，
${\rm AR}:{\rm OQ}={\rm KA}:{\rm KO}=(r\sin\theta+1):1$
となる．よって，
${\rm AR}=(r\sin\theta+1){\rm OQ}=\dfrac{r\sin\theta+1}{r^2-1}{\rm PQ}$ （ ${\rm PQ}=r-\dfrac{1}{r}$ ）
が成立し，求める ${\rm P}$ の条件は $r\sin\theta+1\lt r^2-1$ となる．

(ii) $\sin\theta=0$ のとき，
$L$ と $xz$ 平面の切り口は
$x=\dfrac{1}{r}$ となる．よって，
${\rm AR}=\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{r^2-1}{\rm PQ}$
が成立し，求める ${\rm P}$ の条件は $1\lt r^2-1$ となる．
（これは(i)の条件で $\sin\theta=0$ とおいたもの）

(i),(ii) より求める ${\rm P}$ の条件は $r\sin\theta+1\lt r^2-1$ となり，
$x^2+z^2-z\lt 2$ ，つまり $x^2+\Bigl(z-\dfrac{1}{2}\Bigr)^2\leqq \Bigl(\dfrac{3}{2}\Bigr)^2$ となる．
（以下略）