1998年(平成10年)東京大学前期-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.07記

[4] $xyz$ 空間に3点 $\mbox{A}(1,0,0)$ ， $\mbox{B}(-1,0,0)$ ， $\mbox{C}(0,\sqrt{3},0)$ をとる． $\triangle\mbox{ABC}$ を1つの面とし， $z\geqq 0$ の部分に含まれる正四面体 $\mbox{ABCD}$ をとる．さらに $\triangle\mbox{ABD}$ を1つの面とし，点 $\mbox{C}$ と異なる点 $\rm E$ をもう1つの頂点とする正四面体 $\mbox{ABDE}$ をとる．

(1) 点 $\rm E$ の座標を求めよ．

(2) 正四面体 $\mbox{ABDE}$ の $y\leqq0$ の部分の体積を求めよ．

2021.01.11記
正四面体の2面のなす角度の余弦は $\dfrac{1}{3}$ であることはほぼ自明．

[解答]
(1) 正四面体の2面のなす角度の余弦は $\dfrac{1}{3}$ であるから， $yz$ 平面において
$\rm OD$ の傾きは $2\sqrt{2}$ である． $\rm D$ の $y$ 座標は $\dfrac{\rm OC}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ により， ${\rm D}\Bigl(0,\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\Bigr)$

$\triangle\rm ABD$ の重心を $\rm G$ とすると　 $\vec{\rm OG}=\dfrac{1}{3}\vec{\rm OD}$ だから ${\rm G}\Bigl(0,\dfrac{\sqrt{3}}{9},\dfrac{2\sqrt{6}}{9}\Bigr)$

$\rm E$ は $\rm G$ を $\rm C$ 中心に2倍拡大した点であるから， ${\rm E}\Bigl(0,-\dfrac{7\sqrt{3}}{9},\dfrac{4\sqrt{6}}{9}\Bigr)$
となる．

(2) $\rm DE$ と $xz$ 平面の交点を $\rm F$ とすると、 $y$ 座標の比較から $\rm DF:FE=3:7$ となる．よって，求める体積を $V$ とすると
$V=\dfrac{7}{10}\times(正四面体{\rm ABDE})$
となる．一辺2の正四面体の体積は，一辺 $\sqrt{2}$ の立方体の体積の $\dfrac{1}{3}$ となり， $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ だから $V=\dfrac{7\sqrt{2}}{15}$
となる．