1967年(昭和42年)東京大学-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[4] $a$ がすべての正の実数をとって動くとき，直線 $y=ax+b$ が点 ${\rm A}(0，0)$ ， ${\rm B}(1，0)$ ， ${\rm C}(0，1)$ を頂点とする三角形を，面積の等しい2つの図形に分けるようにするには， $b$ を $a$ のどのような関数にとればよいか．

2022.05.02記
3角形を2等分する直線は、何度か東大入試に登場している．

[解答]
傾き1のとき，点 $\rm A$ を通る直線で2等分されることに注意して場合分けをする．

(i) $0\lt a\leqq 1$ のとき:
$(0,1),(0,b),\left(\dfrac{1-b}{a+1},\dfrac{a+b}{a+1}\right)$
でできる三角形の面積が $\dfrac{1}{4}$ となれば良いので， $\dfrac{1}{2}(1-b)\dfrac{1-b}{a+1}=\dfrac{1}{4}$ となり
$b=1-\sqrt{\dfrac{a+1}{2}}$

(ii) $1\lt a$ のとき:
$(1,0),\left(-\dfrac{b}{a},0\right),\left(\dfrac{1-b}{a+1},\dfrac{a+b}{a+1}\right)$
でできる三角形の面積が $\dfrac{1}{4}$ となれば良いので， $\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\dfrac{a+b}{a+1}=\dfrac{1}{4}$ となり
$b=\sqrt{\dfrac{a(a+1)}{2}}-a$