1997年(平成9年)東京大学前期-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.15記

[4] 正 $3$ 角形 $\mbox{ABC}$ の頂点 $\mbox{A}$ から辺 $\mbox{AB}$ とのなす角が $\theta$ の方向に， $3$ 角形の内部に向かって出発した光線を考える．ただし $0\lt \theta\lt 60^{\circ}$ とする．この光線は $3$ 角形の各辺で入射角と反射角が等しくなるように反射し，頂点に達するとそこでとまるものとする．また， $3$ 角形の内部では光線は直進するものとする．

(1) $\tan\theta=\dfrac{\sqrt3}{4}$ のとき，この光線はどの頂点に到達するかを述べよ．

(2) 正の整数 $k$ を用いて $\tan\theta=\dfrac{\sqrt3}{6k+2}$ と表せるとき，この光線の到達する頂点を求め，またそこへ至るまでの反射の回数を $k$ を用いて表せ．

2021.01.08記

[解答]
光線を折り返して一直線にしたとき、もとの正3角形の頂点は
$\vec{a}=(1,0),\,\vec{b}=(1/2,\,\sqrt{3}/2)$ とおくと、 $m\vec{a}+n\vec{b}$ （ $m,n$ は整数）の形に書け、

$m-n\equiv 0\mod 3$ のとき頂点A
$m-n\equiv 1\mod 3$ のとき頂点B
$m-n\equiv 2\mod 3$ のとき頂点C

となり、 $\tan\theta=\dfrac{n\sqrt{3}}{2m+n}$ が成立する．

(1) $2m+n:n=4:1$ より $m:n=3:2$ となり、互いに素な組は $m=3, n=2$ である。 $m-n=1$ より、頂点Bに到達する．

(2) $2m+n:n=6k+2:1$ より $m:n=6k+1:2$ となり、互いに素な組は $m=6k+1, n=2$ である。 $m-n=6k-1\equiv 2\mod 3$ より、頂点Cに到達する．
それまでに辺と交わる回数(反射の回数)は
60度向きの辺とは $m-1$ ，120度向きの辺とは $m+n-1$ ，水平向きの辺とは $n-1$ の合計 $2(m+n)-3=12k+3$ 回である．