1967年(昭和42年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[1] $a$ が正の定数， $n$ が正の整数ならば， $x\geqq 0$ において不等式 $ax^{n+1}+\dfrac{1}{\sqrt[n]{a}}\gt x$ が成り立つことを証明せよ．

[2] 一平面上に3個の半径1の円があり，それぞれ点 ${\rm A}(0，0)$ ，点 ${\rm B}(2\sqrt{3}，0)$ ， ${\rm C}(\sqrt{3}，3)$ を中心とする．このとき，次の条件 (i) と (ii) を満たす点 $\rm P$ の存在する範囲を定め，その面積を求めよ。

(i) 点 $\rm P$ は円 $\rm A$ ，円 $\rm B$ ，円 $\rm C$ のすべての外部にある．

(ii) 点 $\rm P$ から円 $\rm A$ ，円 $\rm B$ ，円 $\rm C$ に引いた接線の接点をそれぞれ $\rm R，S，T$ とするとき，
$\overline{\rm PR}^2+\overline{\rm PS}^2+\overline{\rm PT}^2\lt 36$

[3] 南北の方向に水平でまっすぐな道路上を，自動車が南から北へ時速100 kmで走っている．また飛行機が一定の高度で一直線上を時速 $\sqrt{7}\times 100$ kmで飛んでいる．自動車から飛行機を見たところ，ある時刻にちょうど西の方向に仰角30度に見えて，それから36秒後には北から30度西の方向に仰角30度に見えた．飛行機の高度は何m であるか．

[4] $a$ がすべての正の実数をとって動くとき，直線 $y=ax+b$ が点 ${\rm A}(0，0)$ ， ${\rm B}(1，0)$ ， ${\rm C}(0，1)$ を頂点とする三角形を，面積の等しい2つの図形に分けるようにするには， $b$ を $a$ のどのような関数にとればよいか．