[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1966年(昭和41年)東京大学-数学(理科)[2]

2020.09.29記

[2] 平面上のある直線 $l$ の上の任意の点 $(x,y)$ に対し，点 $(4x+2y，x+3y)$ がふたたび $l$ の上にあるという．このような直線 $l$ をすべて求めよ．

2020.09.29記
線型変換の不動直線の問題．

$\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1& 3 \end{pmatrix}$ の固有値ともに $0，1$ でなく，固有ベクトルが $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ であることから， $y=\dfrac{1}{2}x，y=-x$ となる．

2022.05.02記

[解答]
直線の方程式が $x=k$ のとき， $(4k+2y,k+3y)$ の $x$ 座標は一定ではないので不適である．よって直線の方程式を $y=mx+n$ として良い．

このとき， $y=mx+n$ 上の任意の点 $(x,y)=(t,mt+n)$ に対して
$x+3y=m(4x+2y)+n$
つまり
$(3m+1)t+3n=2m(m+2)t+(2m+1)n$
が成立するので，これは $t$ に関する恒等式である．よって
$3m+1=2m(m+2)$ ， $3n=(2m+1)n$
である．前者から $m=-1,\dfrac{1}{2}$ であり，よって後者から
$(m,n)=(-1,0),\left(\dfrac{1}{2},0\right)$
となる．すなわち
$y=-x，\dfrac{1}{2}x$ となる．

直線の方程式を $ax+by+c=0$ とおくと， $a:b:c$ が同じであれば同じ直線を表すので，値ではなく比に関する方程式となることから，本問の場合は少し面倒になる．