[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1987-01-13

1987年(昭和62年)東京大学-数学(文科)[2]

2023.08.29記

[2] $a$ を正の定数とし， $x$ の関数 $f(x)=x^3-ax^2-a^2x$ のグラフを $\mbox{C}$ とする． $f(x)$ が極大となる $x$ の値を $b$ とするとき，点 $(b,f(b))$ における $\mbox{C}$ の接線と $\mbox{C}$ とによって囲まれる部分の面積を $a$ で表せ．

2020.09.28記

[解答]
$f'(x)=0$ を解いて $x=-\dfrac{a}{3}，a$ となる． $a\gt0$ より， $x=-\dfrac{a}{3}$ で極大．この点における接線と $y=f(x)$ の交点の $x$ 座標は解と係数の関係から $x＝-\dfrac{5a}{3}$ となる．よって求める面積はベータ関数を利用して
$\displaystyle\int_{-a/3}^{5a/3} \left(x+\dfrac{a}{3}\right)^2\left(x-\dfrac{5a}{3}\right)dx$ $=\dfrac{1}{12}(2a)^4=\dfrac{4a^4}{3}$
となる．