1966年(昭和41年)東京大学-数学(理科)[5](新課程) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[5](新課程) 半直線 $\rm OX$ が，点 $\rm O$ のまわりを毎秒1ラジアンの角速度で回転している． $\rm OX$ 上を運動する点 $\rm P$ が，時刻 $t$ 秒において，点 $\rm O$ から $e^{2t}\mbox{cm}$ の距離にあるという．時刻 $0$ 秒から $2\pi$ 秒までの間に，点 $\rm P$ の動く道のりを求めよ．ただし， $e$ は自然対数の底である．

2022.05.02記
$f(t)=e^{at}\sin bt$ ， $g(t)=e^{at}\cos bt$ は， $a+bi=re^{i\alpha}$ とおくと
$f'(t)=re^{at}\sin(bt+\alpha)$ ， $g'(t)=re^{at}\cos(bt+\alpha)$
となり
$\displaystyle\int f(t) dt=\dfrac{1}{r}e^{at}\sin(bt-\alpha)+C$ ， $\displaystyle\int g(t)dt=\dfrac{1}{r}e^{at}\cos(bt-\alpha)+C$
となる（後者は使わないが）．

このことから
$\sqrt{\bigl(f'(t)\bigr)^2+\bigl(g'(t)\bigr)^2}=re^{at}$
であることがわかる．

[解答]
$\rm O$ を原点とし， $t=0$ のときの半直線 $\rm OX$ が $x$ 軸正の向きとなるように座標をおく．

このとき， ${\rm P}(e^{2t}\cos t,e^{2t}\sin t)=:(f(t),g(t))$ となるので
$\sqrt{\bigl(f'(t)\bigr)^2+\bigl(g'(t)\bigr)^2}=\sqrt{2^2+1^2}e^{2t}=\sqrt{5}e^{2t}$
となる．よって求める道のりは
$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{5}e^{2t}dt$ $=\dfrac{\sqrt{5}(e^{4\pi}-1)}{2}$ cm