2021年(令和3年)大阪大学-数学(理系)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[5]

次の問いに答えよ，

(1) $a$ を実数とする， $x$ についての方程式 $x-\tan x = a$ の実数解のうち， $|x|\lt\dfrac{\pi}{2}$ をみたすものがちょうど $1$ 個あることを示せ．

(2)自然数 $n$ に対し， $x-\tan x = n\pi$ かつ $|x|\lt\dfrac{\pi}{2}$ をみたす実数 $x$ を $x_n$ とおく． $t$ を $|t|\lt\dfrac{\pi}{2}$ をみたす実数とする．このとき，曲線 $C:y=\sin x$ 上の点 ${\rm P}(t, \sin t)$ における接線が，不等式 $x\geqq\dfrac{\pi}{2}$ の表す領域に含まれる点においても曲線 $C$ と接するための必要十分条件は， $t$ が $x_1,x_2,x_3,\ldots$ のいずれかと等しいことであることを示せ．

2021.02.25記

[解答]

(1) $f(x)=x-\tan x$ とおくと $f'(x)=1-\dfrac{1}{\cos^2 x}\leqq0$ より $f(x)$ の増減表をかくと

$x$	$-\dfrac{\pi}{2}$	…	$0$	…	$\dfrac{\pi}{2}$
$f'(x)$		$-$	$0$	$-$
$f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$0$	$\searrow$	$-\infty$

となるので題意は成立する．

(2) 接線 $y=(\cos t)(x-t)+\sin t（|t|\lt\dfrac{\pi}{2}）$ と $y=(\cos s)(x-s)+\sin s（s\geqq\dfrac{\pi}{2}）$ が一致するとき， $\cos t=\cos s$ が必要で，このとき $(\cos t)(s-t)=\sin s-\sin t$ が成立する．

$\sin s=\sin t$ と仮定すると $\cos t\neq 0$ より $s=t$ となって矛盾する．

よって $\sin s=-\sin t$ であるから $\cos t=\cos s$ とあわせて $s=-t+2n\pi（n=1,2,\ldots）$ となる．このとき， $(\cos t)(s-t)=\sin s-\sin t$ から $t-\tan t=n\pi（n=1,2,\ldots）$ となるので題意が示された．